P^P^--/KP

On déduit de là d'abord, en négligeant une constante,

(56) P=/(p)/i(pi)/2(P2), puis ensuite

(rin) ^2r/"(P)-?(P) , /|(P1) — ?l(.P») , /â(pO-?2(p2)

Comme R ne doit pas dépendre de p, cette dernière équation montre d'abord que e^^ est nécessairement de la forme (' )

(58) e2K=ei(p,)-+-0.,(p2).

Nous sommes donc conduits à chercher les systèmes plans orthogonaux qui donnent pour l'élément linéaire du plan l'expression suivante

(59) ds^=[biipO + Up^)](dpl + dpl).

Cette question, qui se présente en Mécanique analytique, a été résolue depuis longtemps par Liouville (^), etles systèmes ortho-

(') Le raisonnement suppose que le coefficient de e^R n'est pas nul; l'hypothèse contraire conduirait aux solutions qui satisfont à la fois aux deux conditions

d'\ d-y d-y dp' ~ ^' dp\ "^ dpi ~ "•

Ces solutions sont de la forme

( A p -t- B ) ( A' cosA-p, -h B' sin A-p, ) ( A"e*f> + B"e-*fO,

A, B, A', B', A", B", k désignant des constantes, et elles se rencontrent dans tous les systèmes triples considérés; mais elles sont linéaires par rapport à p.

(^) Liouville, Sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d'un point matériel peuvent s'intégrer {Journal de Liouville, i" série, t. XI, p. 36o; i846).

a82 LIVRE II. — CHAPITRE V.

gonaux qui en donnent la solution se l'éduisent, on le sait, à ceux qui sont formés de deux familles d'ellipses et d'hyperboles homofocales et à leurs variétés.

Admettons ce résultat et achevons la solution. D'après la forme môme que nous trouvons pour P, on peut, en réunissant la fonction /,(p/) à r/, réduire P à l'unité. Faisons donc

P = i; l'équation à résoudre deviendra

?(p)[0l(Pl)-+-^2(p2)]-(-?l(pl) + <P2(p2) = O.

Elle se décomposera évidemment dans les suivantes

cp(p) = A-,

où k et A' désignent deux constantes arbitraires.

Les équations différentielles qui déterminent r, /■,, j'o seront les suivantes

159. Nous n'insisterons pas sur ces résultats, qui sont bien connus, et nous passerons aux systèmes triples qui comprennent deux familles de cônes isothermes.

Dans ce cas, l'élément linéaire de l'espace est donné par la formule

(60) ds'^=dp^-\- p'-e-^^\dpl-hdpl), avec la condition

Un calcul presque identique au précédent montrera de même que l'on doit avoir (*)

e2n=0,(pO + e2(p,).

(') Ici encore il faudra laisser de côté des solutions qui sont linéaires en et conviennent à tous les systèmes considérés.

RECHEHCHE DKS SYSTÈMES ISOTHERMES. 283

On sera donc conduit au problème suivant, dont la solution est bien connue (' ) :

Mettre Vêlement linéaire de la sphère de rayon i sous la forme

(62) rf52=[0l(p,)+62(p2)](^p2^rfpp.

Le système triple correspondant comprend deux familles de cônes homofocaux du second degré. Ainsi que le précédent, il se rattache comme cas-limite à celui qui est formé par trois familles de surfaces du second degré.

160. Il nous reste à traiter les systèmes les plus importants, ceux pour lesquels H, H,, H2 sont données par les formules (3) du n° 135. L'équation de la chaleur devient alors

^ ^^ ' à f/a,d\\ , ,^ .,„./- à f^a.ôY

Si l'on substitue à p, p,, p2 les variables s, s,, e^ définies parles formules

(64) ^'= Tt^' (^-=0,1,2),

J SI ai

elle peut s'écrire