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qui, une fois établie dans ce cas particulier, subsiste d'une manière générale; et l'on voit que l'équation du problème peut aussi

s écrire

a4 LIVRE I. — CHAPITRE I.

L'inlroduction des dérivées secondes de la fonction H, à la place des quantités A,/,, est due à Gajlej.

16. Nous terminerons ce Chapitre en examinant une question essentielle, et nous nous proposerons de déterminer les caractéristiques, soit de l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre (ôa), soit du système fondamental (i). Commençons par l'équation du troisième ordre, que nous écrirons sous la forme (38). Pour obtenir les caractéristiques, il suffît de se borner aux termes qui contiennent les dérivées du troisième ordre de u et d'y remplacer chaque dérivée Uiki par le produit pip^p^ pi, p^^ pi désignant les dérivées premières d'une certaine fonction 8 qui, égalée à une constante, définira les surfaces caractéristiques.

En eifectuant cette substitution, on trouvera sans peine que Ton a

et l'équation aux dérivées partielles qui détermine les caractéristiques sera

S„G Op0ov^6 = o.

Elle se décomposera ainsi en trois facteurs, et l'on reconnaît immédiatement que les trois séries correspondantes de caractéristiques sont formées de surfaces assujetties à l'unique condition d'être trajectoires orthogonales de l'une des familles qui composent le système orthogonal.

On aurait pu prévoir ce résultat à l'aide de la proposition énoncée au n° 3. Quand on essaye de déterminer les intégrales d'une équation ou d'un système d'équations aux dérivées partielles par les conditions initiales qui figurent dans le théorème de Cauchy, les caractéristiques sont les ensembles pour lesquels le problème devient indéterminé. Or nous avons vu (n° 3) qu'un système triple est déterminé lorsqu'on se donne les courbes suivant lesquelles les trois familles de surfaces coupent une surface donnée (S), à moins que deux des trois familles de courbes tracées sur (2) ne soient rectangulaires. Cette condition restrictive définit évidemment les caractéristiques et conduit par une autre voie au résultat obtenu plus haut. En efiet, d'après les propriétés élémentaires du trièdre trirectangle, les seules surfaces qui

puissent être coupées suivant deux familles de courbes rectangulaires par les surfaces appartenant à deux familles du système orthogonal sont celles qui sont orthogonales aux surfaces qui composent l'une ou l'autre des trois familles du système.

La proposition relative aux caractéristiques de l'équation du troisième ordre conduit au résultat suivant : on peut toujours déterminer un système triple orthogonal par la condition que les surfaces (A) qui composent une de ses trois familles coupent une surface (S) suivant les courbes (G) d'une famille donnée, et aient, suivant ces courbes (G), un contact du second ordre avec certaines surfaces (S) contenant ces courbes, à moins que les surfaces (S) ne soient orthogonales à (S), ou bien que les courbes (G) ne soient des lignes de courbure des surfaces (S) sur lesquelles elles sont tracées. Dans ces derniers cas, le problème est, en général, impossible, mais il peut être indéterminé.

Des considérations géométriques très simples permettent de confirmer ces résultats. Pour fixer les idées, prenons le premier cas d'exception et supposons que les surfaces (S) soient normales à (S) suivant les courbes (G). Les trajectoires orthogonales (G') des courbes (G) sur la surface (S) seront évidemment des trajectoires orthogonales des surfaces (S); et, par suite, chaque courbe (G') sera ligne de courbure pour une surface appartenant à l'une ou à l'autre des deux familles qui doivent compléter le système triple cherché. Il suit de là que si, en chaque point d'une courbe (G'), on construit les tangentes principales de la surface (S) qui est, en ce point, orthogonale à (G'), ces droites, étant aussi les tangentes principales de la surface (A) tangente à (S), devront envelopper deux développées de la courbe (G') et, par suite, engendrer deux surfaces développables. Si cette condition n'est pas remplie, le problème sera impossible; si elle l'est, il sera indéterminé.

Si l'on envisage ensuite le second cas d'exception, celui oii les courbes (G) sont lignes de courbure des surfaces (S) sur lesquelles elles sont placées, on sera conduit à des conclusions analogues, mais moins simples. Le lecteur pourra s'en rendre compte en supposant que la surface (S) se réduise à un plan.