Pour/i = > nous savons que a est un polynôme du

cinquième degré au plus. Posons donc, a^, a,, ... étant des constantes,

(71) a,= aop| + a,p,^ ^-«2?»- -^^i?} ^-..•, l'équation prendra la forme

(pl — pa) 160 ( p) -t- 5ajp3-l- 'Jaip^H- - a,p -+- -aj +.,. = o,

et elle donnera la solution

(72) i6o,(Pj) = — 5aop? — 3aip? — mpi— n,

m et n étant deux constantes quelconques.

Les solutions particulières en nombre infini auxquelles nous

sommes ainsi conduits sont donc de la forme suivante

(7.3) \ = s/^rr,r,,

la fonction /•/ satisfaisant à l'équation

, ,. d'^ri a'i dHi / 5 ,3 , "i " \

^74) «'-^ + T dy, -*- (r6^«??-^ 76^'?'^ -^ rep'--^ Te) "'•="'

où ?7i et n désignent deux constantes arbitraires.

Si le polynôme ai se réduit au troisième degré, M devient égal à I, ao et a, sont nuls et l'équation linéaire précédente devient équivalente à celle qui a été obtenue par Lamé et que nous avons donnée au n" 124.

162. Examinons maintenant les autres valeurs que l'on peut prendre pour h. Si l'on fait d'abord

A = i, on aura

ai= niip'f + mpi-i-pi.

En tenant compte des relations (17) du n° 141 qui existent entre les coefficients m/, ni, pi, on réduira l'équation (70) à la forme suivante

4cp(p) — m ^ 4?i(pi) — /»! ^ 4^i(Pî) — m-2 ^ ^

(Pl— ?2)^ (P2— ?)"^ (P — pi)'

Il n'y a évidemment qu'une seule manière de satisfaire à celte relation, celle pour laquelle on aura

?A(pA) = y-» (/t = 0,1,2).

L'équation de la chaleur aura donc seulement huit solutions de la forme cherchée.

Supposons maintenant /i = 2. Les fonctions ai se réduisent à des constantes dont la somme est nulle, et l'équation à vérifier (70) devient

?(p) , ?i(pi) ^ y2(p2)

Ici encore il y a une seule solution possible, pour laquelle on a

et l'équation de la chaleur admet seulement huit solutions particulières de la forme cherchée.

Enfin, si l'on fait h = -, les fonctions a, a,, a-y se réduisent à

un même polynôme du troisième degré. L'équation à vérifier devient impossible ; on le reconnaît immédiatement en chassant les dénominateurs et faisant p = p, = po.

En résumé, en dehors des systèmes considérés par Lamé, on ne trouve, à proprement parler, que le système des cyclides homofocales et ses variétés, pour lequel la propriété a été établie en premier lieu, au moins en ce qui concerne les cyclides à plans principaux, par M. Wangerin (').

163. Il nous paraît intéressant de faire connaître ici la méthode directe par laquelle nous avons démontré et étendu aux cyclides les plus générales l'élégant résultat que l'on doit à M. Wangerin (2).

On sait que l'équation du système des cyclides homofocales peut prendre une forme très simple si l'on adopte, pour représenter un point de l'espace, le système des cinq coordonnées pentasphériques

s,, S2, ..., Sr, désignant les puissances du point par rapporta cinq sphères, deux à deux orthogonales. Je rappelle les relations

dx

dx

ày

dz

dz

dz )

^ =2(SA-f-S;l.'),

(') Wangerin (A.), Ueber ein drei/ach orthogonales Flâchensystem, gebildet aus gewissen Flàchen vierter Ordnung {Journal de C relie, t. 82, p. i\b; 1876).

(^) Sur l'application de méthodes de la Physique mathématique à l'étude des corps terminés par des cyclides ( Comptes rendus, t. LXXXIII, p, 1087 et 1099; novembre 1876).

qui sont d'ailleurs d'une vérificalion facile, et auxquelles on peut joindre l'équation évidente

Ces relations vont nous permettre d'écrire, dans le système de coordonnées pentaspliériques, l'équation aux dérivées partielles de la chaleur ou du potentiel.

Soit V une fonction quelconque des cinq quantités S,; on pourra toujours, en faisant usage de la relation identique entre les quantités S/,

la rendre homogène et même lui donner tel degré que l'on voudra. En calculant les dérivées secondes de V et tenant compte des relations (76), on établira sans difficulté l'équation suivante

où pi désigne le degré de V. Si donc on admet que, par l'emploi de la relation (78), la fonction homogène V ait été rendue de

degré , 4p--*-2 sera nul, et l'équation du potentiel dans le

nouveau système de coordonnées prendra la forme élégante

Cette équation doit d'ailleurs être vérifiée, soit identiquement, soit en vertu de la relation homogène qui relie les quantités xi. Avec son aide, on peut établir sans calcul le lemme de Lord Kelvin. Il est aisé de reconnaître que, si l'on transforme une figure par inversion, les coordonnées Xi d'un point M demeurent proportionnelles à celles û;'^ du point homologue M', prises par rapport à cinq nouvelles sphères orthogonales qui sont les inverses des premières. On a

/.- étant le module de l'inversion, et /' la distance du point M' au pôle de la transformation. Or, considérons une fonction V satisfaisant à l'équation (80). Comme elle est supposée mise sous

forme homogène et de degré — -> on aura, si on l'exprime en

fonction des nouvelles coordonnées x\ du point M',

V désignant ce que devient V quand on y remplace xi par x\.

Puisque V ne diffère de V que par l'accentuation des lettres, on aura évidemment

ou encore

c'est-à-dire que la fonction —•, exprimée en fonction des coordonnées du point M', sera une solution de l'équation du potentiel. C'est le résultat de Lord Kelvin déjà établi plus haut (n° 156).

IGi. Cela posé, considérons le système des cyclides homofocales et orthogonales, défini par l'équation

Si, dans cette équation, on considère les xi comme les coordonnées d'un point M, elle fera connaître trois valeurs de }v, que nous désignerons par p, p,, Oo, et qui seront les paramètres des trois cyclides orthogonales se croisant au point M. L'identité

OÙ l'on a posé

et qui est analogue à une équation semblable de la théorie des D.

coordonnées elliptiques, nous conduit sans effort aux résultais suivants.

En développant les deux membres suivant les puissances négatives de X et posant

(85) a = ai4- «2 + . . .4- as, on trouve d'abord

En prenant les dérivées des deux membres de l'identité (83) par rapport à X, et faisant ensuite X= 0, on trouve

P(p — Pl)(p — P2) ^ A?)

équation à laquelle il faudra joindre celles qu'on en déduirait par l'échange de p en p, et en p^. On a d'ailleurs identiquement

àF

et, par des calculs fort simples où l'on emploiera l'équation

hF'(p) y- =0,

on établira sans difficulté les relations suivantes :

2fêr-

'«ç^ dp dp\ ^ dxi dxi ~ ' ^ dp d?

ûXi dxi à^-p

^tl = ?- V ^'

^dxj F'(p)^p — a/

> — - = id,

Ad dxf

RECHERCHE DES SYSTÈMES ISOTHERMES. "igi

OÙ les sommes doivent être étendues à toutes les valeurs de l'indice ^; on obtiendrait des relations analogues en échangeant o,

Au moyen de tous ces résultats, on peut former sans difficulté l'équation aux dérivées partielles qui définit le potentiel. La fonction V que l'on doit substituer dans l'équation (80) devant être

homogène et de degré — -j nous l'écrirons i

(90) V = P *0(p, pi,p2).

P étant du degré 2, d'après la formule (86), et p, p(, p2 ne dépendant que des rapports des quantités Xi, cette expression de V satisfait bien à la condition exigée.

En la substituant dans l'équation (80), et tenant compte des

5 formules (89), nous aurons en facteur P ^ dans tous les termes;

ce facteur étant supprimé, il restera l'équation

les deux termes non écrits se déduisant des précédents par le changement de p en p, et en pa- On peut encore écrire l'équation sous la forme

(p — Pl)(? — P2)

d'oij il suit immédiatement qu'elle sera vérifiée si l'on prend pour cp le produit /v, ro de trois fonctions dépendant respectivement de p, p,, po, la première étant déterminée par l'équation

(90 /(p)/-"+i/'(p)r'-4--l(5p3 3ap^+Cp-hD)/-=o,

OÙ C, D désignent deux constantes, et les autres fonctions /'(, /'2 satisfaisant aux équations toutes semblables que l'on obtient en conservant les constantes C, D et changeant p en p, ou en pj.

C'est le résultat que M. Wangerin avait publié, dans le Mémoire déjà cité, pour les cjclides à plans principaux.

On peut conslaler qu'il est en parfaite concordance avec celui que nous avions établi plus haut.

En effet, si, dans l'identité fondamentale (83) qui a lieu pour toutes les valeurs de X, on donne à cette variable la valeur «/, on obtiendra l'équation

qui fournira les valeurs des coordonnées pentasphériques .r/ en fonction de P, de p, de p, et de p^. Quant à la valeur de P, elle se déduira de l'identité (78)

qui donnei'a, si l'on y remplace les xi par leurs valeurs (92),

<^3) -à-lW"^

^P ^RiV /'{ai)

11 suffit ensuite de porter la valeur des Xi dans l'équation

ds^.

It

qui fait connaître l'élément linéaire de l'espace en coordonnées pentasphériques ('), pour obtenir la formule

^^ 1 (p^-p)(p,-p,) , . (p,-p)(p2-pi) , 1

qui donne l'élément linéaire de l'espace exprimé en fonction des variables p, p,, pa- Cet élément linéaire reproduit, avec un léger changement de notations, la forme générale que nous avons obtenue plus haut pour la valeur — - de /«, et il est en parfait accord avec les formules du n" 122, si l'on y remplace P par z-r^-

(') Leçons sur la théorie des surfaces (I" Partie, p. 219).

16o. La recherche que nous venons de terminer n'a pas un caractère aussi particulier qu'on pourrait le croire au premier abord. Il est aisé de démontrer qu'elle nous fait connaître tous les cas dans lesquels l'équation de la chaleur admet des solutions de la l'orme suivante

V = N/(p)/,(p,)/j(pO,

où N, p, p,, 02 sont des fonctions déterminées et où/, /, , /j sont des fonctions qui seront uniquement assujetties à satisfaire à des équations linéaires de la forme suivante

Un calcul des plus simples nous montre, en effet, que l'on a

A2V=//,/2A,N+2/7i/2A(p,N)+ 2//;/,A(p„N) +2//,/;a(p„n) -t- 2N//;/;a(p,,p2) +'2N/'/,/;A(p,po+aN/'/;.AArp,p,)

- N/"/,/,A(p) + N/,/;'/,A(p,) -i-N//,/nrp,)

+ ^ffj,\,(p) + N//;/2Aj(p,) -+-n//,/:a,(po.

Par suite, si dans l'équation

A,V =0, on remplace les // par leurs valeurs déduites de l'équalion, on aura une équation irilinéaire par rapport aux quotients -^ qui,

Ji

devant être vérifiée au moins pour deux valeurs indépendantes de chacun de ces rapports, devra avoir lieu pour toutes leurs valeurs possibles. Comme elle ne contiendra les produits de ces rapports que dans les termes de la seconde ligne, il sera nécessaire que l'on ait

A(pi,?2) = o, A(p,p2) = o, A(p, p,) = o.

Par suite, p, p,, pa sont les paramètres de trois familles orthogonales, et nous retombons précisément sur le problème que nous venons d'étudier.