LES SYSTÈMES TRIPLES DE M. BIANCHI

Dans ce Chapitre, on se propose de donner une nouvelle application de la méthode générale de recherche en déterminant tous les systèmes triples orthogonaux pour lesquels une des familles est composée de surfaces à courbure totale constante. — Cette application, due à M. L. Bianchi, a son origine dans un théorème de M. Weingarten qui fait prévoir l'existence d'une classe étendue de ces systèmes. — Ce théorème peut s'énoncer comme il suit : Étant donnée une

surface (S) à courbure totale constante - > si l'on porte sur la normale en chacun

de ses points une longueur infiniment petite MM' proportionnelle à cos-— ,

v/Ad désignant la distance géodésique de M à un point fixe A de (S), la surface (S') décrite par le point M' est, elle aussi, à courbure constante t et elle

fait partie avec (S) d'une famille de Lamé. — Il permet évidemment de construire, de proche en proche, des surfaces à courbure constante et égaie, qui dépendent de quatre fonctions arbitraires et forment une famille de Lamé. — Examen d'un problème auquel conduit naturellement la proposition de M. Weingarten; propriétés de certains systèmes cycliques se rattachant à une surface applicable sur une surface de révolution. — Exposé des recherches de M. Bianchi; ce géomètre s'est proposé de déterminer tous les systèmes triples pour lesquels une des familles est composée de surfaces à courbure totale constante; mais il a donné de l'extension aux recherches de M. Weingarten en supposant que la courbure totale puisse varier lorsqu'on change de surface. — Mise en équation du problème. — En écartant le cas spécial où les surfaces cherchées seraient de révolution, on obtient une forme élégante de l'élément linéaire; celte forme dépend d'une seule fonction u qui doit satisfaire à trois équations aux dérivées partielles du deuxième et du troisième ordre. — Étude de ce systènie d'équations aux dérivées partielles; il est montré que son intégrale générale dépend de cinq fonctions arbitraires d'une variable. — Propriétés générales des systèmes triples auxquels on est conduit; M. Bianchi a fait voir qu'on peut leur appliquer la transformation de M. Backlund. Il suffit pour cela d'intégrer trois équations de Riccati auxquelles satisfait une même fonction. — Examen particulier des systèmes de M. Weingarten pour lesquels la courbure totale ne varie pas lorsqu'on passe de l'une des surfaces à toute autre de la même famille. — On vérifie les propriétés géométriques qui résultent de la proposition énoncée plus haut. — Recherche d'une classe particulière de systèmes de Weingarten. — En essayant de déterminer tous les systèmes triples pour lesquels les neuf quantités H,., ^-^ dépendent d'une seule variable a, on est conduit à un système exclusivement composé d'hélicoïdes à courbure totale constante.