SYSTÈMES TRIPLES DE M. BIANCIII

1G6. Parmi les applications de la méthode générale de recherche des systèmes triples orthogonaux, nous signalerons encore celle que Ton doit à M. Bianchi et qui concerne les systèmes triples pour lesquels l'une des familles se compose exclusivement de surfaces dont la courbure totale est constante. Cette application a son origine dans un élégant théorème de M. Weingarten ('), dont nous allons tout d'abord faire l'étude approfondie.

Considérons, pour fixer les idées, une surface (S) à courbure

constante négative \- C'est un théorème dû à Ribaucour que

si, d'un point quelconque de la surface comme centre et dans le plan tangent, on décrit un cercle de rayon «, tous les cercles ainsi obtenus sont normaux à une famille de surfaces (S,) qui sont

toutes à courbure constante —^ et qui font partie d'un système triple orthogonal ('■^).

Voilà donc une première catégorie de systèmes triples orthogonaux pour lesquels une des familles est composée de surfaces à courbure constante. Nous les nommerons systèmes de Ribaucour. Toute surface à courbure constante (S) fait partie d'une infinité de systèmes de Ribaucour. Car, si l'on prend l'une quelconque des surfaces dérivées (S,) définies plus haut et si on lui applique la même construction qu'à la surface (S), il est clair que l'on en fera dériver une série de cercles tous normaux à (S) et, par conséquent, un système triple orthogonal dont (S) fera partie. L'étude approfondie de l'opération, par laquelle on dérive (S,) de (S), a été faite dans nos Leçons {^), je n'y reviendrai pas ici.

Étant donnée la surface (S), associons-lui l'une quelconque des surfaces (S,) : nous obtenons ainsi deux surfaces dont nous désignerons les points correspondants par M, M,. Nous savons que la droite MM, est normale à une famille de surfaces parallèles pour lesquelles la différence des rayons de courbure est constante et égale à a. De plus, les lignes qui, sur la surface (S),

(') Nous connaissons ce théorème par l'énoncé qu'en a donné M. L. Bianchi, dans les Rendiconti de l'Académie royale des Lincei, série IV, vol. I, p. i63. (^) Leçons sur la théorie des sur/aces (III* Partie, p. 4^3, n° 804). (•■') Leçons sur la théorie des sur/aces (III" Partie, Livre VII).

296 LIVRK 11. — CHAPITRE VI.

sont langentes à MM, sont des géodésiques, allant toutes concourir en un même point de la surface situé à Finfîni, de sorte que la construction par laquelle on passe de (S) à (S,) peut s'énoncer de la manière suivante :

Sur la surface (S) à courbure constante négative —^5 on

construit toutes les géodésiques qui vont passer par un même point à l'infini : les droites {d) tangentes à toutes ces géodésiques sont aussi tangentes à une autre surface (S,) qui est encore

à courbure constante -; et si Ton désigne par M et M, les

points de contact de chaque tangente avec (S) et (S,), on a toujours MM, = a.

De plus, la relation entre (S) et (S,) est réciproque, et les géodésiques de (S,), qui sont tangentes à ces mêmes droites (â?), vont, elles aussi, concourir en un point à l'infini.

167. Tous ces points étant rappelés, considérons la surface (S,), construisons dans ses plans tangents, et des points de contact comme centres, les cercles de rayon «; les surfaces trajectoires orthogonales de ces cercles auront toutes leur courbure constante égaleà et elles formeront une famille de Lamé dont (S)

fera partie. Proposons-nous de déterminer, dans cette famille, la surface infiniment voisine de (S). Il faudra, pour cela, porter sur la normale en M à la surface (S) une longueur infiniment petite MM'= H que nous allons déterminer.

La trajectoire orthogonale de toutes les surfaces associées à (S), étant le cercle qui passe par M et a son centre en M,, sera à ellemême son propre cercle osculateur. Il va donc nous être permis d'appliquer une proposition donnée plus haut, au n° 40.

Nous savons, en effet, que le rayon de ce cercle osculateur est donné par la formule

^ ' p II dn '

— désignant la dérivée de H lorsqu'on se déplace sur la surface

suivant la courbe tangente au rayon du cercle osculateur. Nous allons montrer comment on peut calculer cette dérivée.