SYSTÈMES TRIPLES DE M. BIANCIII

Construisons sur (S) les géodésiques dont les tangentes sont aussi tangentes à (S,). Si l'on rapporte les points de la surface au système de coordonnées formé de ces géodésiques et de leurs trajectoires orthogonales, l'élément linéaire de (S) pourra être ramené à la forme

( -2 ) c?s2 a-î ( du'^ + e^'^dv^);

y- sera égal à -t-('). Si donc on applique la formule (') ^n

y remplaçant p par «, il faudra que l'on ait

i I ^T a « H du

ce qui donne, en désignant par C une constante infiniment petite, (3) II -Ce".

De là résulte le théorème suivant :

Etant donnée une surface à courbure constante —^ dont

l'élément linéaire est ramené à la forme {i)^ si l'on porte sur la normale en chacun de ses points M une longueur infiniment petite MM proportionnelle à e", la surface infiniment voisine,

lieu //eM', sera, elle aussi, à courbure constante négative ^

et elle fera partie, avec (S), d'une même famille de Lamé.

Ce théorème peut être immédiatement généralisé. On sait, en effet, que l'élément linéaire de la surface (S) peut être ramené d'une infinité de manières à la forme (2). Si l'on effectue la substitution définie par les formules suivantes :

OÙ a désigne une constante, cet élément linéaire deviendra, en

(') H ne dépend que de u; cela résulte de la théorie développée dans nos Leçons, théorie qui conduirait d'ailleurs très aisément à l'expression de H donnée par la formule (3).

effet ('):

(5) ds^ = aHdu'^-^e'-"'dv'i).

Le théorème subsistera donc si la longueur MM' porté sur la normale est e"', c'est-à-dire a pour valeur

(6) gîi' — (j. a)2(3«-f- g-".

Cette expression est une combinaison linéaire des trois suivantes :

(7) ç-e'^-{-e-", pe", e" ;

et, d'après la forme linéaire des équations du problème, on aperçoit immédiatement que le théorème précédent s'appliquera à toute combinaison linéaire à coefficients constants de ces trois expressions. En eff'et, pour que la surface (S') infiniment voisine de (S), décrite par le point M', appartienne avec (S) à une famille de Lamé, il faut, nous le savons, que MM' vérifie une équation aux dérivées partielles du second ordre, l'équation étudiée au Livre I, (Chap. 111 et IV). Or cette équation ne saurait admettre, pour toutes les valeurs de a, la solution (6) sans admettre aussi les trois solutions particulières (7). Le raisonnement est le même en ce qui concerne la courbure. Sans faire de calcul, on reconnaît immédiatement que la courbure totale de (S') au point M' diffère de la courbure de (S) au point M d'une quantité qui est une fonction linéaire de MM' et de ses dérivées des deux premiers ordres. Par conséquent, ici encore, si cette différence s'annule pour la solution (6), elle s'annulera aussi pour les trois solutions (7) et, par suite, pour une quelconque de leurs combinaisons linéaires.

Or, considérons la combinaison linéaire suivante

{v — a)2e«-+-(p2 4 e-2M)eH.

D'après une formule connue (^), elle représente

ap cos — .}

(■) Leçons sur la théorie des surfaces (IIP Partie, n° 796). (^) Leçons sur la théorie des surfaces (111° Partie. n° 789).

SYSTÈMES XniPLES DE M. BIANCHI. 299

d désignant la dislance géodésique du point de coordonnées a, v au point dont les coordonnées sont

u = — Logp, V — T.;

2 [3 pouvant être remplacé par un facteur de proportionnalité

et — . étant la racine carrée de la courbure, nous pouvons énoncer

ai *■

le théorème de M. Weingarten :

Étant donnée une surf ace {^) à courbure totale constante t» si l'on porte sur la normale en chacun de ses points M une longueur infiniment petite MM' proportionnelle à cos— j

d désignant la distance géodésique de M à un point fixe A de (S), la surface (S') décrite par le point M' est, elle aussi, à

courbure totale j et elle fait partie avec (S) d'une même famille de Lamé.

En répétant la même construction sur (S'), on en déduira une surface nouvelle (S"), puis une suite illimitée de surfaces (S'"), (S"), . . ., qui formeront une famille de Lamé. Cette famille sera assez générale, car elle dépendra de quatre fonctions arbitraires d'une variable, ceUes, au nombre de deux, qui entrent dans la définition de (S), puis celles qui servent à définir les positions des points A, A', A", . . . dans les surfaces correspondantes (S), (S'), (S"), .... Un raisonnement intuitif montre même que l'on pourra choisir arbitrairement (S) et une des trajectoires orthogonales de la famille de Lamé.

Désignons, en effet, par (C) cette trajectoire orthogonale, qui coupera normalement (S) en un point P. Comme on connaît en ce point le cercle osculateur de (C) et comme H est constant en même temps que d^ on sait déjà (n° 40) que le point A sera sur la géodésique admettant pour tangente en P la section du plan tangent à la surface par le plan osculateur. D'autre part, d'après la formule déjà rappelée (i), le rayon connu de ce cercle osculateur doit être défini par la formule

1 __ 1 :^ p ~ n On'

OÙ H désigne MM'; el, comme on a ici

II = cos— — ,

et comme -— n est autre que la denvee prise par rapport a a, on

aura

- = —1. tang— ^,

équation qui fera connaître, en grandeur et en signe, la distancée? de P au point A, sur la géodésique passant par P et déterminée plus haut. On pourra donc construire le point A et, par suite, faire dériver (S') de (S). Recommençant le raisonnement avec (S') et continuant ensuite indéfiniment, on pourra reconstruire toute la famille de Lamé.

Ces raisonnements demandent sans doute à être complétés, mais ils donnent une idée très nette a priori des systèmes que nous voulons étudier. Avant de retrouver tous les résultats par une analyse plus irréprochable, nous allons étudier quelques questions qui sont clairement posées par les énoncés précédents.

168. La construction que M. Weingarten a donnée, pour passer de la surface (S) à la surface (S'), offre ce caractère essentiel qu'elle est indépendante de la forme de la surface (S) et demeure la même quand celle-ci se déforme d'une manière quelconque. Nous sommes ainsi conduits à nous proposer le problème suivant :

Étant donnée une surface quelconque (S), on porte sur ses normales des longueurs infiniment petites MM'. Est-il possible que la surface (S') décrite par M' appartienne toujours, avec (S), à une famille de Lamé, lorsque (S) se déformera de toutes les manières possibles en entraînant avec elle les petites normales MM'?

Pour résoudre cette intéressante question, nous supposerons la surface rapportée à des coordonnées curvilignes.

Nous construirons le trièdre (T) attaché à la surface et nous emploierons le Tableau IV de formules donné dans nos Leçons sur la théorie des surfaces (IP Partie, p. 387).

Formons d'abord, d'une manière générale, l'équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre à laquelle satisfont les

SYSTÈMES TRIPLES DE M. BIANCIII. 3o I

fonctions

./:•', ^'', z' désignant les coordonnées absolues d'un point de la surface, c'est-à-dire les coordonnées relativement à un système fixe d'axes coordonnés rectangulaires.

Nous savons que les caractéristiques de cette équation seront les lignes de courbure, et, par suite, c'est à elle que devra satisfaire la plus courte distance de deux surfaces infiniment voisines. Au lieu de calculer à la fois x\ y j z' , nous remarquerons que l'équation aux dérivées partielles précédente est caractérisée par la propriété d^ admettre comme solution particulière le carré de la distance du point de la surface à un point fixe quelconque de Vespace.

Or, si l'on désigne par .r, j-, c les coordonnées d'un point fixe de l'espace relativement au trièdre (T) attaché à la surface, on a, comme on sait,

le carré de la distance à un point fixe de l'espace aura donc pour expression

Les dérivées de cette fonction 8 se calculent aisément à l'aide des formules précédentes et sont données par le Tableau suivant :

1 du ôv

Éliminant x, y, z entre ces équations, de manière à obtenir une équation homogène en 0, nous voyons que 9 satisfera à l'équa-

ày

-f- -h r. -^ rx — pz —0, du

àv

-f- + r,, -h riX — PiZ

dv ' -^ '

lion aux dérivées partielles linéaire suivante :

dç

ôH

àl

dû^

dudv