PO

rir

di> dt]i di>

-^^p-lq

-r,pi~\qi

Telle est donc aussi l'équation à laquelle devra satisfaire la plus courte distance de deux surfaces infiniment voisines. Cette équation, dans notre hypothèse, devra avoir une solution particulière 6 = II,

qui se conservera quand la surface se déformera de toutes les manières possibles.

Or, lorsque la surface se déforme, il existe entre les rotations Pi <]i P* ? 9* ^^^ seule relation linéaire

■npi — ^qi'-^-nip — ^q,

à laquelle ne pourra jamais se réduire l'équation (i i) donnée plus haut. 11 faudra donc que la solution 9 = H vérifie les trois équations aux dérivées partielles que l'on obtiendra en supprimant, dans le déterminant précédent, l'une quelconque des trois dernières lignes et la quatrième colonne. En d'autres termes, il sera nécessaire et suffisant que tous les déterminants contenus dans le système linéaire

d-ni

àu^

du dv

dn\

dv^

soient nuls.

dr] .

dv ^

SYSTÈMES TRIPLES DE M. BIANCHI. 3o3

Il y a une solution évidente

H = const.

qui correspond au passage à la surface parallèle. Mais, si nous l'écartons pour chercher les autres, on doit supposer que les deux dérivées premières de H ne soient pas nulles en même temps.

Pour obtenir des formules simples, supposons que l'on ait rapporté la surface au système de coordonnées formé avec les courbes H = const. et leurs trajectoires orthogonales. Alors, on pourra

faire

II = «, Tj = f 1 = o ;

et, en appliquant les Ibrmules du Tableau IV de nos Leçons sur la théorie des sur/aces, on aura les deux conditions :

ÔK d{XG)

di> ou

d'où l'on déduit aisément que l'élément linéaire de la surface cherchée sera réductible à la forme

(t3) ds'-=^ o^-{u)ilu^-^ ~^^ dç'-.

De là, il résulte qu'elle est applicable sur une surface de révolution et comme l'élément d'aire est du di>, on est conduit au théorème suivant :

Considérons une sur/ace (S) et imaginons que l'on porte sur toutes ses normales des longueurs infiniment petites MM', de manière à obtenir une suif ace infiniment voisine (S') qui forme avec (S) une famille de Lamé. Pour que cette propriété subsiste lorsque (S) se déforme de toutes les manières possibles en entraînant toutes les petites normales MM', il faut, ou bien que MM' soit une constante, ou bien que (S) soit applicable sur une certaine surface de révolution (S). Alors, pour définir toutes les longueurs MM', on portera sur chaque normale à (S) une longueur proportionnelle à l'aire comprise entre un parallèle fixe et le parallèle qui passe par le pied de cette normale.

Ce parallèle fixe pouvant être choisi arbitrairement, l'expression

3o4 LIVRE II. — CHAPITRE VI.

de H contiendra une constante arbitraire en dehors du facteur de proportionnalité.

Par exemple, si la surface est à courbure constante —■, on pourra ramener son élément linéaire à la forme

et il faudra porter sur chaque normale des quantités proportionnelles à

cosO+A-.

Dans le cas particulier des surfaces à courbure constante, qui sert de point de départ à cette recherche, la surface (S') conserve toujours la même courbure totale, lorsque la surface (S) se déforme el, par suite, la surface (S') demeure toujours applicable sur ellemême. Cette propriété, il est aisé de le reconnaître, ne saurait subsister lorsque la surface (S) a sa courbure totale variable. En effet, lorsqu'elle se déforme en demeurant de révolution, la surface (S') est aussi de révolution. Par suite, si celle-ci demeurait toujours applicable sur elle-même, elle devrait l'être sur une surface de révolution dont les parallèles correspondraient à ceux de la surface (2). Un calcul que nous omettons montrera au lecteur que cela n'arrive jamais. Cette remarque accroît encore l'intérêt du théorème de M. Weingarten.

109. Nous avons vu (n°' 40, 41 et 46) qu'à chaque valeur de H correspond un système cyclique formé par les cercles osculateurs des trajectoires et v/ce versa, l^e théorème précédent montre donc qu'il existe des systèmes cycliques formés de cercles normaux à une surface (S) et qui conservent cette propriété lorsque la surface se déforme de toutes les manières possibles en entraînant ces cercles. La surface (S) est alors applicable sur une surface de révolution (2) et les plans des cercles qui composent le système sont tangents à la surface complémentaire.

Le raisonnement suivant par lequel on peut retrouver cette propriété des surfaces applicables sur une surface de révolution mettra une fois de plus en évidence l'intérêt qu'il y a à introduire l'imaginaire en Géométrie.

SYSTÈMES TRIPLES DE M. BIANCIII. 3o5

Si réléinenl linéaire d'une surface (S) est réduclible à la forme

( I j I ds- — du^-^ C^ rfi'2,

où G est fonction de ?/, on sait que cette surface (S) est applicable sur une surface de révolution (S); de plus, les tangentes aux géodésiques de paramèlre v touchent une autre surface (S|) dont l'élément linéaire est réduclible à la forme

^ , /'CC"\2 ^ , dw'-

ds}= { -r^ ] dir- -4- -^

Par suite, cette surface (S|), que nous appellerons avec M. Bianclii ta surface complémentaire de (S), est, elle aussi, applicable sur une surface de révolution (S,) (').

Nous avons étudié cette proposition avec tous les détails nécessaires, nous en signalerons ici une conséquence nouvelle et singulière : c'est que toute surface de révolution peut, en se déformant, venir s'appliquer sur une droite quelconque. Imaginons, par exemple, que (S), en se déformant, vienne s'appliquer sur la surface (S), il faudra bien que la surface (S,) vienne, en se déformant, s'appliquer sur l'axe même de (S); chaque point de cet axe contiendra tous les points de (S,) qui correspondent à un même parallèle de (S). Nous allons retrouver cette proposition et montrer de plus que (S(), en se déformant, peut même se réduire à une droite isotrope.

En effet, nous savons que la variable w employée plus haut, dans la formule (i5), est définie par la quadrature

(i6) dw ^C(q du-\- fjid^'),

OÙ nous conservons toutes les notations de nos Leçons (IP Partie, n" 749). Les quantités ^, ^, satisfont, avec les autres rotations du Irièdre (T) attaché à (S), aux relations

ôv au

P^li — (JPi = Oj

(') Leçons sur la théorie des sur/aces (lit" Partie, Livre VII, Clinp. X).

3o6 LIVRE II. — CHAPITRE VI.

En général, la rotation q^ n'est pas nulle, (v est alors une fonction qui ne dépend pas uniquement de u\ l'expression de ds\ est une somme de deux carrés et convient à une surface (S, ) qui a réellement deux dimensions. Mais il est facile de voir que l'hypothèse

gr, = o,

peut être admise; elle réduit alors ds\ à un carré parfait et la surface (S<) à une ligne droite. On a, en effet, dans ce cas,

^ = o, C" = qpi,

dv du ^

d'où l'on déduit, en intégrant,

c ce

(l8) p}-\-C- = h^. q — —j dw — du.

' Pi Pi

h désignant une constante.

1/élément linéaire de (S,) prend alors la forme suivante :

c'est-à-dire qu'il se réduit à un «arré parfait. Il est aisé de vérifier^ d'après les résultats donnés au n°7-49 de nos Leçons, que (S,) se réduit à une droite. Si la constante h devient nulle, cette droite est isotrope.

Ainsi, il existe une infinité de déformations simultanées des surfaces complémentaires (S) et (S,) dans lesquelles l'une d'elles (S,) se réduit à une droile {d), et, parmi elles il j en a une pour laquelle cette droite est isotrope.

Soit (So) l'une des formes de (S) pour lesquelles (S,) se réduit à une droite (d) et soit alors m un point quelconque de (d). La sphère de rajon nul admettant pour centre le point m coupera les plans tangents de (Sq) suivant des cercles (Co) et nous savons (') que, lorsque (S,,) se déforme, en entraînant ces cercles (Cq), de manière à reprendre sa forme primitive (S), les nouvelles posi-

(') Leçons sur la théorie des surfaces (IIF Partie, Livre VII, Chap. VIII).

SYSTÈMES TRIPLES DE M. BIAXCill. 3o7

dons (G) des cercles (Go) engendrent un système cyclique, quel que soit le point m choisi sur [d).

Au lieu de rattacher tous les cercles (G) à la surface (S), on peut définir leur position relativement à la surface complémentaire (S, ).

Soit/? un point de (S),/>, le point correspondant de (S,), les plans tangents en /?, /?, aux deux surfaces se coupent suivant la droite /?/>,, ils sont rectangulaires et forment avec ppi une figure qui demeure invariable lorsque (S) et, par suite, (S, ) se déforment d'une manière quelconque.

Lorsque (S) prend la forme (So) pour laquelle (S,) se réduit à une droite (d), pt devient le point où le plan tangent en p k (So) vient couper la droite (d), le plan tangent à (S,) en/?, se réduit au plan passant par les droites (d) et ppi', de sorte que le cercle (Gq) défini plus haut a nécessairement son centre sur la droite pp, . Il en sera donc de même des cercles (G).

Ainsi, étant donnée une surface (S,) applicable sur une surface de révolution, il existe une infinité de systèmes cycliques que l'on peut rattacher comme il suit à cette surface : si /?, est un point quelconque de (S,), il lui correspondra un cercle dont le centre sera situé sur la tangente en /?, à la géodésique qui résulte de la déformation d'un méridien et dont le plan sera le plan osculateur à cette géodésique. Et le système de tous ces cercles ne cessera pas de rester cjclique lorsque la surface se déformera d'une manière quelconque en les entraînant.

Gomme les déformations qui réduisent (S,) à une droite (d) dépendent d'un paramètre arbitraire h, comme, d'autre part, on peut choisir arbitrairement le point m sur chaque droite (c/), les systèmes cycliques précédents dépendent de deux paramètres.

Parmi eux, nous devons distinguer ceux qui correspondent au cas, signalé plus haut, où la droite (d) est isotrope; alors, comme chaque point-sphère ayant son centre sur cette droite la contiendra tout entière, les cercles (Go) et, par suite, les cercles (G) passeront par le point />,. Ils deviendront normaux à (S() en ce point.

Il est ainsi établi par la Géométrie qu'à chaque surface applicable sur une surface de révolution, on peut faire correspondre une suite simplement infinie de systèmes cycliques; ces systèmes sont formés de cercles normaux à la surface et ne cessent pas de

3o8 LIVKE II. — CHAPITRE VI.

rester cycliques quand la surface se déforme d'une manière quelconque en entraînant tous les cercles. Les plans de ces cercles demeurent tangents à la surface complémentaire.

170. Après ces remarques sur la proposition de M. Weingarten, nous allons faire connaître l'extension que lui a donnée M. Bianchi. Non seulement l'éminent géomètre a démontré en toute précision l'exislence des systèmes triples orthogonaux que le théorème de M. Weingarlen permettait de prévoir; il a mis, de plus, en évidence l'existence d'une infinité d'autres familles de Lamé qui sont toujours composées de surfaces à courbure constante; mais la courbure de chaque surface n'est pas la même; elle varie suivant une loi quelconque, lorsqu'on passe de l'une des surfaces à toute autre de la même famille. Il a fait, en outre, connaître un grand nombre de propriétés géométriques des systèmes triples auxquels on est ainsi conduit ('). Nous allons démontrer ici les plus essentiels des résultats que l'on doit à M. Bianchi.

Considérons un système triple et supposons que les surfaces à courbure totale constante soient celles dont le paramètre est p. Admettons, pour fixer les idées, que la courbure de toutes les surfaces, qui pourrait être tantôt positive et tantôt négative, soit

négative et égale à — iTï' '^ ^^^^^ "'^^ constante s'il s'agit des systèmes de M. Weingarten, et une simple fonction de p s'il s'agit de ceux de M. Bianchi. Exprimons d'abord que les surfaces de

paramètre p ont leur courbure totale égale à — — •

Les deux rayons de courbure de la surface de paramètre o sont donnés par les formules (n" 107)

j i ^Hi 1 r dlij

^'^^^ Ho, "" mil Op ' Ho2 ~ HH2 dp '

(') Les recherches de M. L. Bianclii sont résumées dans ses evcellentes Lezioni di Geometria differertziale. Elles sont développées principalement dans deux Mémoires insérés aux tomes XIII el XIV des Annali di Matematica de Milan, 2" série. On pourra consulter aussi les deux Notes insérées le i5 février et le i5 mars i883, dans les Rendiconti de l'Académie Hoyalc des Lincei, série IV, t. I.

SYSTÈMES TRIPLKS DE M. lUANCIlI. 809

Posons, en inlrodiiisant une variable auxiliaire o),

(•21) Roi = Rcotw, R02 — — Riangw.

Il viendia

, , dIogH, H dIogH, II

(..) —^^ =-^ tang.>, — ^ ^ -cota,.

o- . 11 CHi àW', 1 11 1 ,

bi nous portons ces valeurs de -—> -^ dans celles des equa-

lions (B) qui conliennenl après leur développement -r — r-' ,

dnu '^ ^'

- — =-> nous aurons

dç> dp 1

\ ÏT Â^ = — tangcoy ,

j I dU, dio

f rr T^ = coiw— -.

Ou déduira de là, en intégrant,

(24) Hi=S2Cos(A>, Ho^Sisinw,

S/t ne dépendant pas de la variable o/^.

Substituons ces valeurs de H,, Ho dans les équations (aa); elles nous donnent les deux suivantes :

()logSi

àp

= cotwj

c^logS,

= — lan

. R ~~ ~ùo

Si donc on n'a pas, à la fois.

II OlM Ô^i àSi

R Op ' dp ~ ' Op

on déduira des équations précédentes la relation

dlogSi c^logS,

tangco r2 h cotu)

àp dp

et, par suite, tangto sera de la forme

(26) tangco — -, ;^ "-^--

3lO LIVRE II. — CHAPITRE VI.

Nous allons voir que celte hjpolhèse conviendrait aux. seuls systèmes pour lesquels toutes les surfaces à courbure constante sont de révolution.

171. En effet, considérons une surface particulière de paramètre p. Son élément linéaire, qui est donné par la formule

ds^- = cos^to S^ dp\ -t- siii^wSioJpl,

peut être ramené à la forme plus simple

(7,7) ds- = cos-to du^-h sin^w di>^.

Il suffît, pour cela, de poser

(28) u= /Sjf/pi, (' = ISidpi.

Avec ce changement de variables, la formule (26) nous donnera

(29) tangu) = ^,,

U et V dépendant respectivement de u et de v. D'autre part, en exprimant que la courbure totale est égale à — -rr,^, on aura l'équation aux dérivées partielles

c)-io 0-ixi __ sintocoso)

à laquelle devra satisfaire w. Si l'on remplace w par sa valeur déduite de l'équation (29) et si l'on emploie la notation de Lagrange pour les dérivées de U et de V, il viendra la condition

Cette équation fonctionnelle, dérivée successivement par rapport à u et. à Çj nous donnera

(-)'vv..(-)'...o.

On déduit de là que l'on doit poser, k désignant une constante,

SYSTÈMES TRIPLES DE M. BIANCIII. 3l I

En intégrani, on aura d'abord h et A, désignant de nouvelles constantes, puis

U'2 = k\]''-\-/l U2-h l, V'2 = — AV4+ /ti V2-f- /,,

/ et /, étant encore des constantes. En portant les valeurs de U', V, U", V" dans l'équation fonctionnelle, il viendra

Les coefficients de U- et de V- ne pourraient être nuls en même temps que si la surface avait une courbure totale nulle, c'est-à-dire se réduisait à une développable ou à un plan. Si nous écartons ces cas déjà étudiés, il faudra donc que l'une des fonctions U ou V se réduise à une constante. Mais alors, w ne dépendant que de l'une des variables u et r, on sait que la surface est de révolution.

Ces systèmes formés de surfaces de révolution peuvent être construits a pi'iori. Ecartons le cas, déjà étudié, où elles sont toutes des sphères; il résulte de la proposition démontrée au n° 64, que l'axe de révolution sera commun à toutes les surfaces qui composent une telle famille de Lamé. Or une surface à courbureconstanle de révolution, qui admet un axe donné de révolution, dépend de trois constantes arbitraires.

En établissant deux relations entre ces trois constantes, on formera une infinité de familles de Lamé répondant aux conditions du problème et l'on trouvera sans difficulté, en construisant les trajectoires orthogonales des méridiens, la famille de surfaces de révolution qui, jointe à l'ensemble des méridiens, complète le système triple cherché.

172. Si nous écartons encore cette solution spéciale du problème, nous voyons qu'on devra supposer

dp dp dp

S, dépendra de la seule variable p^ et S^ de la seule variable p,.

Par suite, en substituant à pi et à 02 les deuK quadratures

/ Sidpi, I Sidpi,

on pourra ramener l'expression de l'élément linéaire, dans le système orthogonal clierclié, à la forme élégante

(32) ds'-= lV^f^Y(/p^--^cos'-oidpl-hsin^ojdpl., c'est-à-dire prendre

(33) H = R^, Ui = cosM. H2=sinw.

Il ne restera plus qu'à substituer ces expressions de H, H,, Ho dans les équations fondamentales (B) et (B') pour obtenir les équations aux dérivées partielles auxquelles devra satisfaire co. On est ainsi conduit aux formules suivantes.

Calculons d'abord les rotations [i^y;. On aura

„ sinco o ^^ ^^^

(^^> ^P"^- -R-' ^^»- ilT^ J^'

En les substituant dans les six équations (B), (B'), il restera seulement les quatre équations suivantes :

d^M à^io sinwcosto ° ^ = d^ ■" d^ ^ÎP ■ = '^ '

l)b = —— , , cotto r — r— -+- tangw— - -,—-3— = o,

opopiâp^ opi dp op. 2 wp2 opdpi

^ () / I ()2co \ I c) /sinw\ I diù à^io

^~ dpi \cosa> dpdpij R dp \ l\ / sinw dp^ dp dp^