CD
d f \ d'^tji \ i d /costoN r dio ()-n)
dpi \sina) dpdp^J '~ R dp\ K / cosw t^pi dp dpi
La seconde équation joue un rôle important dans des recherches qui seront exposées plus loin et son intégration permettrait de déterminer lous les systèmes triples orthogonaux; elle peut se
SYSTEM ES TRIPLES I)i: M. UIANCIU. 3l3
mettre sous l'une des trois formes suivantes :
llb d / I di(xi \ T dio d^M
cosw "" dp2 \cosw dpdpj sinw dpi dp dp.2
l)l> d / i d^oi \ ï dui d^ijj
sinw " c'pi l^sitio) dpoptj cosw dp^ âpdpi
\lî, à / O^io \ d l d^-to
= — cotio 7—
ù cosw Opi \ dp dp.^^
ces trois formes permettent de vérifier aisément les relations identiques suivantes auxquelles satisfont les premiers membres des équations (35)
,^ . dA,
coso) — (Ib) sinw = -7—
do
d / 1)1) \ ^3 i doi dio i d'^M
•)pi\coso>/ dp'i "^ sinw dpi dp^ sinw dp dp,
d / llî) \ d(Ç) i d(t) „ d(u - I d^O}
dpiXsuMxt / dpi cosw dpî dpi coswdp()pi
et qui vont jouer un rôle essentiel dans notre discussion.
On pourrait d'abord en déduire que les deux dernières équations (35) sont de simples conséquences des deux premières. Laissant ce point de côté, nous remarquerons tout d'abord qu'en vertu delà première identité on peut supprimer l'une quelconque
des équations
3 = 0, ou (JD = o.
En tenant compte des deux autres identités, on peut montrer (jue si l'équation
cl) = o
est toujours vérifiée et si les équations
lll, = 0, cO = o
le sont seulement pour p, = o, elles le seront pour toutes les valeurs de p, .
Supposons, en effet, que \)Ij, OD et, par suite, S soient nuls pour p, = o. 11 résulte des identités qu'il en sera de même des dérivées premières de ces fonctions par rapport à p,. En différentiant les identités par rapport à cette même variable, on verra
3l4 LIVRE II. — CHAPITRE VI.
qu'il en est de même de toutes les dérivées de \)î), G, (D jusqu'à un ordre quelconque, prises par rapport à p,. Par conséquent, ces fonctions, qui sont développables, seront nulles pour toutes les valeurs de p, .
De cette proposition, on peut déduire la règle suivante :
On intégrera l'équation
en déterminant une solution w qui satisfasse aux conditions initiales suivantes
dui .
to = to„, -r— = 7o, pour pi = o,
Wq et J^o étant des fonctions de deux variables assujetties à vérifier
les deux équations
ilî, = o, 0 = 0,
où l'on aura remplacé w par too, -r— par <^q, c'est-à-dire étant déterminées par le système
( 0*^2 \sinwo <^p<^Pi/ ^ ^P \ i"^ / cosioo àp
La fonction w ainsi déterminée sera la solution la plus générale des équations (35); car elle satisfait à la première pour toutes les valeurs de p( et aux trois autres pour p, =:: o.
Il nous reste à discuter le système précédent (38); mais ce système contient deux fonctions inconnues et il se compose de deux équations, l'une du second, l'autre du troisième ordre. Il admettra donc une solution générale dépendant de cinq fonctions arbitraires d'une variable. Ainsi se trouve fixé le degré de généralité de la solution la plus étendue du système (35).
Il y a cependant à préciser, à distinguer les cas où R est constant de ceux oii R est une fonction de p.
Dans la première hypothèse qui correspond aux systèmes de M. Weingarten, on ne change pas la forme des équations en remplaçant p par une fonction de p. On peut ainsi faire disparaître une
SYSTÈMES TRIPLES DE M BJAXCIII. 3l5
fonction arbitraire et la solution ne dépend plus que de quatre fonctions arbitraires.
Si l'on faisait le même changement dans le second cas, on modifierait la forme de la relation qui relie II à p, ce qui n'est évidemment pas permis. Les systèmes de M. Bianchi, qui correspondent à cette hypothèse, contiennent donc une fonction arbitraire de plus que ceux de M. Weingarten.
173. On aurait pu encore montrer que les équations (35) admettent une intégrale commune et fixer le degré de généralité de cette intégrale en raisonnant de la manière suivante.
Remplaçons dans le système (35) la première équation par ses trois dérivées relatives à p, p,, po. En tenant compte de la première identité (37), on reconnaît qu'il restera seulement cinq équations du troisième ordre, pouvant être résolues par rapport aux dérivées troisièmes
dJw
Opldp-i'
Op ^ àp
d-^io
d^iM
àpl'
àpi Opi <Jp '
op\ dp
et toutes les valeurs que l'on en déduira pour celles des dérivées quatrièmes, cinquièmes ou sixièmes qui peuvent être obtenues de différentes manières par la différentiation seront compatibles. De là il résulte qu'en différentiant jusqu'à un ordxe quelconque, on n'aura jamais de valeurs discordantes pour une même dérivée et l'on pourra déterminer toutes les dérivées du /r"""'^ ordre sauf
f)"Oi
dp'^'
^p«-' op.
Op'^-^Op.'
àp'^-'àpi
l^a solution générale comportera donc cinq fonctions arbitraires d'une variable. Cela résulte des propositions générales relatives à la théorie des systèmes d'équations aux dérivées partielles.
174. M. Bianchi a remarqué que, lorsqu'on a trouvé un système orthogonal de la nature des précédents, on pourra en déduire une infinité d'autres de même nature en leur appliquant des transformations analogues à celles qui ont été employées pour les surfaces isolées. On peut établir ce résultat comme il suit.
Prenons dans le plan des yz du trièdre (T) formé par les nor-
3l6 LIVRE II. — CIIA IMTRK VI.
niales en M aux surfaces coordonnées, c'est-à-dire dans le plan langent à celle des trois surfaces dont la courbure est constante, le point M' dont les coordonnées sont
(39) X = o, y^/HcosO, z = /«.siiiO,
m désignant une fonction inconnue de p. Les projections du déplacement de ce point seront définies par les formules
[ D;j. — ( R--^ t jJ3,o4- 3ÎB20) dp —y %\ dpx — z'^o^^dpi, / / \ ) \ ^P /
D; — sinO dm -hy{d^ — J3.2i dpi -+- fn2 dpi) -+- s\i\m dp^.
qui sont une simple application des équations (C) (n° 107).
Si nous nous déplacions sur la surface de paramètre p et si nous voulions obtenir la transformation de M. Bâcklund, c'esl-à-diie si nous voulions que la surface décrite par le point M' fût à courbure constante comme la surface décrite par le sommet M du triùdre (T), il faudrait choisir pour Q une fonction satisfaisant à la condition ( ' )
m(d<) — ^n dpi-i- '^iîdp,)
= siiiO cos oy( dp i + X dp-i) — sin m cosO(/. dp^ -{- dp,).
Conservons ici la même équation; mais, pour tenir compte de
ce que 0 dépend de p, remplaçons-^? â?0 par d^ — y dp afin qu'elle
convienne à des variations arbitraii^es de p, pi, o.,. Nous aurons ainsi l'équation
f m{d% - '^iidpi-\-^i,dpi) ^ ' = sinO cosw(<7p, -r- À (r/p.2) — «inw cosO(X </pi -+- <:/p2) H- /«— ofp,
qui s'appliquera à des valeurs quelconques des différentielles â?p, <fp, , d^.2'
On peut s'en servir pour simplifier les expressions (4o) des projections du déplacement. Mais, auparavant, faisons tourner le trièdre (T) d'un angle 8 autour de M^, de manière que son axe
(') Leçons sur la théorie des sur/aces (IIP Partie, Livre VII, Cliap. XII).
SYSTEMES TRIPLES DE M. Bl.VNCHI. 3 17
des r prendra la direction MM'. En désignant par Dy , D^ les projections du déplacement sur les nouveaux axes desjK et des z, on
Dj: = ( R -j — ^7 Pio-I- -^^ao) ^? ■+- rr(s'n^ cosO dpi — sin6 cosw c/sj).
j,) / D,'= —do -4- cosw cosO f/pi -T- sino) sinO r/p.,.
