I -^ \ .' Op

D;' = m — dp — ). ( sinto cosO rfpi — siiiG cosco r/pi).

Aux surfaces coordonnées décrites par le point M correspondent trois familles de surfaces décrites par le point M'. Pour que ces trois familles soient orthogonales, il sera nécessaire et suflîsant que l'ei^pression de

ds'-i = D.?. -^ D/ -f- D?.

ne contienne que les carrés des différentielles dp, dp,, dp.,.

En exprimant d'abord que le rectangle dpidp, disparaît, on trouve l'équation

|)uis, en égalant à zéro les deux autres rectangles, on a

Op âp -^ ' ' âp

de sorte que, en rapprochant les équations (34), (4')? (44), on voit que 0 sera défini par le système suivant

il- 1- -— — sinO cosoj — / sin co cosO,

\ ()pi Op.,/

! / âf) doy \ ^ . „

(.\')) ' ni \ H -T^ 1 = A SMiO coso) — sinwcosO,

. ô(\ doj cosO d-M siiiO OUo A -- — -^- -4- m ■ r-— - -J- m .— ^ -,

O'j OO COSCO OOOpi SIIIW OjO'j.^

fiui se ramené i

mmédiatemenl à Tensemljle de trois équations de Puccali, si l'on prend comme inconnue lang-- Les méthodes que

3l8 LIVRE II. — CHAPITRE VI.

nous avons souvent appliquées (') montrent que ces trois équations admettront une intégrale contenant une constante arbitraire toutes les fois que o> satisfera aux équations fondamentales (35). On peut maintenant, comme l'a fait M. Bianchi, édifier une théorie toute semblable à celle que l'on applique à des surfaces isolées et qui a été développée dans nos Leçons (Livre Vil, Chap. XII et XIII). Mais nous renverrons sur ce point aux Mémoires et à l'excellent Ouvrage de M. Bianchi.

175. ISfous terminerons cette étude générale en vérifiant par l'Analyse une des propriétés fondamentales des systèmes de M. Weingarten. Pour les familles de Lamé formées de surfaces

ayant toutes la même courbure totale -j -, les lignes d'équidistance de chaque surface, c'est-à-dire les lignes pour lesquelles la distance à la surface infiniment voisine est la même, sont définies, d'après l'énoncé même du théorème fondamental, par une équation de la forme

d COS-— = const.

et sont, par suite, des cercles géodésiques concentriques. Si les systèmes que nous avons obtenus se confondent réellement, en supposant que R soit constant, avec ceux dont le théorème de M. Weingarten fait prévoir l'existence, il faudra que les lignes d'équidistance, définies évidemment par l'équation

— - =: const., dz

soient des cercles géodésiques parallèles.

La condition de parallélisme pour les courbes définies par une

équation

n =: const.,

sur la surface de paramètre p, s'exprime, comme on sait, par l'équation (- )

(46) An=-^(^)'V .-V-(^)'=F(,0.

^ cos-a)\()pi/ sin2w\()p2/ ^ ^

(') Leçons sur la théorie des surfaces ( I" Partie, Livre I).

(-) Leçons sur la théorie des sur/aces {H" Partie, Livre V, Gliap. IV et V ).

SYSTÈMES TRIPLES DE M. BIANCIII. 3l9

Nous sommes ainsi conduits à calculer la fonction

Or, dans le cas où R est constant, un calcul facile montre qu'en combinant les équations (35) on peut obtenir les deux suivantes

dp~i~ W^ d^ dp dpi ~ ^' ^ ~ R2 âp" dfdpl "^ ^ '

d'où l'on déduit, en intégrant et posant

la relation

où F(p) désigne une fonction arbitraire de p. Cette équation montre déjà que les courbes d'équidistance sont parallèles.

Si l'on veut rapporter la surface à ces courbes et à leurs trajectoires orthogonales, il faudra partir de l'identité

dp

An

ds^ = cos^o) «?p2 j sin^o) dp'^

dn^ I / dU,> , d^i

\n An

/ dHo , d^M , ' tansraj- — - — ap^ — cotw-r dpi

V * dp dpi ' dp ûp.2 '

Si, comme nous le supposons, les courbes d'équidistance sont des cercles concentriques, il faudra que la difFérentielle entre parenthèses ait un multiplicateur fonction de la seule variable n. Cette condition permet de le déterminer et l'on trouve aisément que l'on peut poser

(jo) tangw -T — ^—dp', — costo-r — -- rfpi = An «f .

dpdpi dpdp2 '

On a ainsi pour l'élément linéaire de la surface l'expression très simple

qui convient, on s'en assure aisément, à une surface de courbure

lolale — jT^, rapporlée à une famille de cercles concentriques et

aux géodésiques qui les coupent à angle droit. Si F est positive, on peut poser

n -\- sjn"' + F = v/Fe«, et l'élément linéaire prend la forme

( 52 ) ds'' = diC- -+- \^ ^ / — ch 2 ,

qui convient au cas où le centre des cercles géodésiques est idéal. Si F est nulle, on pourra poser

et il viendra

il' (53) cW- = da"--^ e" dv''-.

Le centre des cercles géodésiques est alors à l'infini. Enfin, si F est négative, on aura

n -+- \/n^^¥ =r- v/^F^«, Il — \/ II- -+- 1'" = \/ — l<'e î',

et l'élément linéaire sera donné par la formule

/ gU <-~ iî \ F

( 5 { ) ds^- = diC- -y -—J - d.\

qui caractérise le cas oii les cercles géodésiques ont leur centre réel .

176. On obtient un des systèmes triples orthogonaux que nous venons d'étudier lorsqu'on se propose le problème suivant.

La recherche d'un système triple dépend de la détermination des neuf quantitf's H,-, [3//,. Proposons-nous de trouver tous les systèmes dans lesquels ces neuf quantités sont reliées par huit relations et dépendent, par conséquent, d'une seule fonction inconnue a.

SYSTÈMKS TRIPLES DE M. UIANCHI. 321

Les six équations (B) montrent d'abord que celle fonction a doit salisfaire à des relations telles que les suÏNantes

et, de là, on déduit facilement qu'elle dépend d'une fonction linéaire

Cp -H Cl pi H- 0-2 p2,

<le p, p( , o.j. Envisageons le cas général où aucune des constantes Q n'est nulle; on pourra, en substituant à p, p,, p2 les variables Gp, C,p), C^po et en remplaçant a par une fonction convenablement choisie, ramener a à la forme la forme plus simple

(V>) a = p-hpi~p.,.

Alors on remplacera, dans les équations (H), les [j/a j>ar leurs expressions

q = L ^ Mj!:

' ''' H,- Opi H,'

et l'on aura trois équations du second ordre qui s'intégreront immédiatement et donneront les relations

(50) Hi,= C;;.H/H/ a^k^l),

où C^ désigne une constante. En substituant les valeurs des ^//^ dans les équations (B'), on reconnaîtra que ces équations sont \érifiées, pourvu que les constantes Q vérifient l'unique relation

Les équations (56) apparliennenl à un type (jue l'on rencontre notamment dans l'étude du mouvement de rotalion d'un corps solide. Leur intégrale peut être donrtée, comme on sait, par les formules (' )

(5S) 11= A sua, IIi = A]Cna, IL^A^diia,

(') Pour avoir rinlégrale f^éncrale, ii faudrait au lieu de a iiiellre une t'onclior linéaire de a, mais cela ne ferait que compliquer l'écriture.

Sl-l LIVRIi 11. — CHAPITRE VI.

OÙ les constantes A, A,, Ao doivent vérifier les relations