CHAPITRE

TROIS THEOREMES SUR LES SYSTEMES n EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Après avoir traité quelques applications, on se propose de revenir à la théorie générale des systèmes triples ortliogonaux ; mais il faut auparavant démontrer quelques propositions générales relatives à certains systèmes d'équations aux dérivées partielles du premier ordre. Ces systèmes rentrent tous dans le type exprimé par les équations suivantes :

ij.ï I,

où les indices i et h peuvent prendre des valeurs différentes, et où les seconds membres désignent des fonctions arbitraires des fonctions inconnues et des variables indépenilantcs.

Mais il y a lieu de distinguer trois cas.

Il y a d'abord les systèmes pour lesquels on connaît une dérivée, et une seule, de chaque fonction inconnue. On démontre alors, en appliquant la belle méthode d'approximation de M. Emile Picard, que si l'on adopte pour les variables indépendantes un système quelconque de valeurs initiales, les équations proposées admettent toujours un système de solutions, et un seul, dans lequel chaque fonction inconnue se réduit à une fonction quelconque des autres variables, quand on donne à la variable par rapport à laquelle est prise sa dérivée sa valeur initiale. Pour que ce théorème soit exact, il faut et il suffit que les fonclionsy,/, demeurent continues dans un domaine continu comprenant les valeurs initiales des fonctions et des variables indépendantes. Il suffit, de plus, que, considérées uniquement comme dépendantes des u/-, elles satisfassent à ce qu'on appelle la condition de Lipschiiz.

320 1,1 VUE III. — ClIAITrilE 1.

Notre deuxième proposition s'applique au cas où le système détermine toutes les dérivées des fonctions continues et où toutes les conditions d'inlégrabilité sont vérifiées. C'est ce qu'on appelle un système complet, et cette théorie est bien connue.

Enfin, notre troisième proposition concerne le cas où certaines fonctions entrent par plusieurs dérivées. On montre alors que, si les conditions d'intégrabilité sont identiquement vérifiées, le système admet une solution, et une seule^ dans laquelle chaque fonction inconnue, dont on connaît .les dérivées par rapport à certaines variables a?/,,, xi,^, ..., xi, . peut se réduire à une fonction quelconque des autres variables, quand on donne aux variables 37/,^, xi,,^, ... leurs valeurs initiales; toujours, bien entendu, sous certaines conditions de continuité, qui dérivent naturellement de l'application du théorème fondamental.

177. Après avoir indiqué dans le Livre précédent différentes applications des formules de Lamé, nous allons revenir à la théorie générale. Mais auparavant, nous ferons connaître quelques propositions simples et générales, relatives à certains systèmes d'équations aux dérivées partielles d'une forme particulière, propositions auxquelles nous aurons à faire appel plus d'une fois dans le développement de cette étude. Voici la première et la plus importante de ces propositions.

Théorème I. — Considérons un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre., comprenant des fonctions inconnues et des variables indépendantes, en nombre absolument quelconque. Si, en dehors des fondions inconnues et des variables indépendantes, ce système ne contient qu'une seule dérivée de chaque fonction inconnue, et si, déplus, il peut être résolu par rapport à toutes les dérivées prem.ières qui y figurent, il admettra, sous certaines conditions de continuité, un système de solutions, et un seul, dans lequel chacune des fonctions inconnues se réduira à une fonction arbitraire de toutes les variables autres que celle par rapport à laquelle est prise la dérivée de cette fonction qui figure dans le système, quand on donnera à cette dernière variable une valeur arbitraire quelconque.

TROIS ÏHÉORÈ-MKS S U U DES SYSTÈMES d' ÉQUATION S. ii.-

Démonstration. — Soient x,, jCo, . . , , x„, les variables indépendantes. Désignons par la notation Ui/i celles des fonctions dont la dérivée par rapport à x< figure dans le système considéré. Les équations qui composent le système pourront, d'après les hypothèses énoncées, s'écrire comme il suit

la notation du second membre indiquant que la fonction //^ contient toutes les fonctions inconnues u/si et toutes les variables indépendantes Xk'- Si le second indice h peut recevoir les valeurs I, 2, 3, . . . , a,-, le nombre total N des fonctions inconnues, égal au nombre des équations, sera

(■J-) N = ya/.

Par hypothèse, les conditions initiales peuvent s'énoncer comme il suit : les fonctions Ui/t doivent se réduire, quand on y fait

à des fonctions arbitraires

des variables autres que Xi.

Pour la commodité de l'exposition, nous remarquerons que ces conditions initiales peuvent s'énoncer d'une manière infiniment plus simple, si l'on effectue la double substitution

( î ) ^/ 1 ^i -4- x'^i , Il ih 1 u ih -^ ^ih •

Car, alors on obtiendra un système de même forme ^ dans lequel les fonctions inconnues uih seront assujetties à devenir nulles lorsqu'on donnera la valeur zéro à chacune des variables Xi.

Je considérerai le système ainsi modifié, et je lui appliquerai la méthode des approximations successives, dont M. Emile Picard a fait un si brillant usage dans l'étude d'un grand nombre de questions analogues.

328 LIVUK m. — CHAPITRE I.

Je prendrai, pour définir la première approximation, des valeurs nulles de toutes les fonctions inconnues '

€t j'en déduirai la seconde approximation par les formules

i'i) Il },, = 1 fiu { o , SCI,' ) dxi.

En général, je passerai d'un système de valeurs approchées «'/f' au suivant u'I^ par les formules

«/'//= / fiiiiu'li ', x-i,')da

Cela posé, je vais montrer que, sous certaines conditions, les valeurs approchées u"/^ tendent, lorsque n augmente, vers des limites déterminées, et que ces valeurs limites fournissent un système de solutions des équations proposées.

Nous supposerons d'abord que toutes les fonctions y,/, demeurent finies et continues quand toutes les variables Uki-, Xw dont elles dépendent varient en restant dans le voisinage de zéro. Il sera alors possible de trouver une limite supérieure M de toutes les fonctions y'/Aî c'est-à-dire qu'on pourra écrire

(7) \fi,A<^\ toutes les fois qu'on aura simultanément

(8) |^/,'|<A, \uu,\<k,

A. étant un nombre positif convenablement choisi.

Nous supposei'ons, en outre, que dans le domaine ainsi défini, les fonctions /"/a, considérées comme dépendantes uniquement des Uhi^ vérifient ce qu'on appelle la condition de Lipschitz. Alors on pourra trouver une constante positive R telle, que si l'on donne à la variable iiui Taccroissement t^iikh on î^iL

(9) |A/,7,|<Kï2:|A,A,v|.

Sous cette double condition, nous allons montrer que la mé-

TROIS TIIKOIIKMES SUR DUS SVSTÈMKS I) ' K Q U A T I ON S . 329

lliode (rappioximaLion successive exposée plus haut conduit à une solution (lu système proposé.

Il faut d'abord montrer qu'on peut toujours diriger la méthode de telle manière que les valeurs successives de chaque fonction demeurent dans le domaine auquel s'appliquent les hypothèses précédentes. Cette condition est évidemment remplie par la preuiière approximation, pour laquelle toules les fonctions Uki sont nulles. Il suffira donc de prouver que, si elle l'est jusqu'à l'approximation de rang n — i, elle l'est aussi pour l'approximation qui lui succède.

Reportons-nous aux formules (6). i^'élément de l'intégrale y a son module évidemment inférieur à Mâ?.ç/, dsi désignant la diU'érentielle de l'arc du chemin d'intégration, pour la variable xi. On aura donc

5/ étant l'arc suivant lequel on intègre. Par suite, Si sera égal au module \xi\ de a?/, si, comme nous le supposerons dans la suite, l'intégration est rectiligne. Il suffira donc de satisfaire à la fois aux deux inégalités

(i<>) I-^'-Km' I-^'I<a,

si l'on veut être assuré cpie la nouvelle approximation sera comprise dans le domaine auquel s'appliquent nos hypothèses. Les deux inégalités précédentes ne sont pas incompatibles, et il suffira de prendre toutes les variables indépendantes inférieures à la plus

petite des quantités A, —' Ceci ne présente aucune difficulté.

Envisageons maintenant les formules relatives à deux approximations consécutives d'indices n et w -f- 1 . En les retranchant membre à membre, on déduira des relations telles qu(î les suivantes

(II) mJ/^' — //,"/, = j [fiki i4h ^k- ) —fihin'lf ' , a^A')] dxi.

D'après la condition de Lipschitz, telle que nous l'avons formulée plus haut, on a

33o MVRE III. — ciiAPirni-: i.

Si l'on désigne par U'^i la plus grande valeur que puisse prendre ul-, — ^/"7' I on aura à plus forte raison