I ./■//, ( "'l/- ^/.' ) - fin ( u'ii ' , XI, ) |< K SS U?v

et, si l'on intègre dans un intervalle au plus égal à B, la formule (il) nous donnera l'inégalité

(l'^O u;;.;'<KBsvu;;'/.

Si l'on pose enfin

(.3) i:sL7./=s„.

la sommation de toutes les équations comprises dans la formule (is<) nous donnera

(i4) S„+,<NKBS„.

L'intervalle d'intégration B est assujetti à l'unique condition

d'être inférieur à la plus petite des quantités A, ■^- Nous pouvons

donc lui imposer, en outre, la condition d'être inférieur à j^j et

alors les quantités S,j décroîtront plus rapidement que les termes d'une progression géométrique décroissante dont la raison serait NKB.

11 en sera évidemment de même de toutes les quantités IJ^y, parties essentiellement positives de S„ ; ainsi, toutes ces quantités décroîtront plus rapidement que les termes d'une progression décroissante, et, d'après un raisonnement bien connu, les quantités u'if, qui sont les sommes des séries

( «/!/ — o ) -^ ( uli - u),, )+...-+-( u'I,— u'jr, • ) ,

auront des limites finies et déterminées Uhi.

U est aisé maintenant de montrer que ces limites Uki satisfont eflectivement aux équations aux dérivées partielles et aux conditions aux limites proposées. Il suffît, en efîet, de reprendre les équations (i i). En y efFectuant le passage à la limite, on aura, évidemment, en vertu de la continuité