TROIS THÉORÈMES SUR DES SYSTÈMES DÈQUATIONS. )) I

et la différenliation par rapport à xi donnera bien le système proposé (i). D'ailleurs, les uih satisfont également aux conditions aux limites; car on a évidemment

Uih — o

pour Xi = o.

178, Il nous reste maintenant à établir un point de la proposition générale qui, nous le verrons dans la suite, a de nombreuses applications. Nous devons établir que le système des valeurs obtenues est le seul qui satisfasse à la fois aux équations proposées et aux conditions aux limites. Nous allons montrer pour cela qu'il est impossible de supposer l'existence de deux systèmes distincts satisfaisant à la fois à toutes les conditions imposées.

Admettons, en effet, pour un moment, l'existence de deux systèmes différents de solutions uih et Uj,^. On aura évidemment

UiU — U'ih = I [fih ( "A/, ^h' ) — fih ( "'/,/, XI,' ) ] dXi «-0

ou, d'après un calcul déjà fait

('fi) U,7.<KBvvU/,/,

L //i désignant la limite supérieure du module de la dilVérence iHh — u'u, .

En posant

on déduira de là, par le procédé qui a été indiqué plus baut,

S<KNBS.

Si l'on choisit encore l'intervalle d'intégration B de telle manière fpj'on ait

KNB<i,

l'inégalité précédente ne sera possible que si l'on a

Or, S ne peut être nulle, à moins quMl n'en soit de même de toutes les quantités Ua/; et, par suite, il est nécessaire que les deux systèmes supposés distincts soient identiques.

Notre proposition se trouve ainsi entièrement démontrée.

Si nous faisons abslraclion de la substitution (3) et si nous revenons à la forme plus générale de l'énoncé, on voit que les conditions de continuité qui y figurent peuvent s'exprimer de la manière suivante :

Les fonctions fih doivent demeurer finies et continues dans le voisinage des valeurs o^i données aux Uki-, et x'I./ données aux variables Xki'i et, dans le domaine ainsi défini, elles doivent satisfaire à la condition de Lipschitz, quand on les considère comme dépendantes uniquement des fonctions u^i-

179. Après avoir étudié les systèmes dans lesquels figure une seule dérivée de chacune des fonctions inconnues, nous allons envisager l'hypothèse qui s'jen écarte pour ainsi dire le plus, et considérer les systèmes qu'on peut résoudre par rapport à toutes les dérivées des fonctions inconnues.

Ces system.es sont évidemment de la forme suivante :

(17) —^ =/,/,(?/!, a,, .... u,„, Xi, x-i, . . ., x,j),

OX/i

i pouvant prendre toutes les valeurs 1,2, . . . , m et h toutes les valeurs i , 2, . . . , />.

In tel système ne sera possible que si les deux valeurs qu'on

peut en déduire pour chacune des dérivées -^ sont égales, ce

' ' âx/idx// " '

ce qui conduit à des conditions de la forme

t,s\ '^^'/' ^V^/"'/' /• 'Ifi/r ^\^ àfih'

Si toutes ces conditions sont vérifiées identiquement, on a ce qu'on appelle un système complet. On peut au sujet de ces systèmes, énoncer le théorème suivant :

THÉouiiMK 11. — Sous certaines conditions de continuité, un système complet admet un système de solutions, et un seul, pour lequel les fonctions inconnues ui prennent des valeurs arbitraires, données à l'avance, a,, lorsqu'on donne aux variables indépendantes Xk des valeurs numériques quelconques x'jI .

TROIS TIIKORKMKS SI» 1) K S S V S T lî) M K S I) ' KQ t AT 1 ONS . 'VU

Les conditions de continuité dont il est question dans (;et énoncé sont les suivantes. Il faut et il suffit que les fonctions //^ soient finies et continues dans le \ oisinage des valeurs <7/, x"„ données respecti\einent aux variables Ui et x/i- H n'j a plus lieu de parler ici de la condition de Lipschitz, puisque la vérification des identités (i8) su|)pose évidemment l'existence des dérivées des fondions fi/, par rapport à toutes les variables dont elles dépendent.

Pour démontrer la proposition, nous emploierons une méthode 1res féconde et dont nous avons, plusieurs fois déjà, fait usage. Introduisons les premiers membres des équations (17), et posons

(19) A//,= -—!- —fiuuii, ..., «/„, xi, .,., X,,).