OX II
L'existence même des conditions d'inlégrabilité nous conduira à la relation identique
^ ' dx/,' i)xn ^ OUI, Ad
où, dans le premier membre, figurent les dérivées totales de Kih par rapport à Xh' et de A/^' par rapport à Xh-, c'est-à-dire les dérivées de ces fonctions considérées comme des fonctions composées des variables indépendantes. Nous allons voir l'usage qu'on peut faire de ces identités.
Le théorème que nous avons en vue a été déjà établi pour le cas d'une variable. 11 rentre alors, si l'on \eut, dans notre théorème L 11 suffira donc que nous prouvions que, s'il est vrai pour/> — 1 variables, il l'est encore pour le cas où il y a une variable de plus.
Dans le système proposé, considérons le groupe des équations (pii contiennent les dérivées par rapport à Xi
(21) — ^fn{ui, ;/,, ..., «,„, Xi, Xi, ..., X,,).
En vertu du théorème 1, ce groupe d'équations admet des solutions Ui qui sont entièrement déterminées par la condition de se réduire à des fonctions quelconques de x^-, x^, . . . , Xp quand on y fera x, = j^'j . Désignons par u" la valeur que prendra la fonc-
334 LIVKK III. — CIIAPITRK I.
tion Ui- SI l'on fait x, = x^ dans toutes les équations du système ( i^) distinctes du groupe (21), on verra que les fonctions «)? doivent satisfaire à toutes les équations
(•2'2) ^ =/,/<(«?, ...,«»,, a^î, .r-i, ...,a-,,) (fi = -2, 3, ...,/>).
Or, ces équations, on le reconnaît immédiatement, forment un système complet à p — i variables seulement; et par conséquent, d'après l'hypothèse faite au début, le théorème étant supposé établi pour le cas de /> — i vaiùables indépendantes, elles admettront une solution et une seule, dans laquelle les m" devront se réduire à des constantes quelconques, a^ par exemple, quand on donnera des valeurs déterminées à toutes les variables x<,^ ... Xp, par exemple la valeur x^ à Xi .
11 suit de là que, si elles existent, les solutions m, du système proposé (l'j) seront entièrement déterminées par la condition de se réduire à des constantes données «, quand on attribuera aux variables X/( des valeurs déterminées xl. Mais, dans la marche que nous avons suivie, nous ne sommes assurés que d'une chose : les fonctions «/ satisferont bien aux équations du groupe (21) c'està-dire aux équations
pour toutes les valeurs des variables indépendantes, mais elles ne satisferont aux équations
où k est supérieur à i , que pour Xt = x^^ . Il faut montrer qu'elles satisfont à ces dernières équations pour toutes les valeurs de Xs. Or, si nous nous reportons aux identités (20) en y faisant /i'= i et tenant compte des équations (23), nous aurons des relations telles que les suivantes :
^ ' dx^ ^ du/,- ' ^ '
Omsidérons ces équations comme formant un système propre à déterminer les fonctions A/a . D'après notre théorème fondamental, ces fonctions seront entièrement déterminées parla con-
THOIS THÉOBÈMES SUU DES SYSTÈMES i)' ÉQ U AT I O.NS. Vi5
dilion de se réduire, pour :r, = xj, à des fonctions déterminées des autres variables. Il y aura donc un système unique de solutions des équations (aS) pour lequel les valeurs Initialesdes A,/, de\ront se réduire à zéro. Or, ce système unique de solutions apparaît immédiatement; car, on l'obtient en égalant à zéro toutes les fonctions Kih = o .
Ainsi, toutes les fois que les équations
sont vérifiées pour toutes les valeurs des variables, et que les autres équations
le sont pour la valeur particulière x^ =Xj, ces dernières équations le sont aussi, quelle que soit la valeur donnée à x^. Les solutions Uih que nous avons définies plus haut satisfont donc^ sans aucune restriction, à toutes les équations du système proposé; et la proposition que nous avions en vue se trouve établie dans toute sa généralité.
180. Nous allons maintenant envisager des systèmes d'une forme, en (juelque sorte, intermédiaire entre les types auxquels s'appliquent nos théorèmes 1 et 11.
TuitOKiiME 111. — Soit donné un système iV équations aux dérivées partielles du premier ordre contenant un nombre quelconque de fonctions inconnues et de variables indépendantes. Supposons que ce système puisse être résolu par rapport à toutes les dérivées qui r figurent, c'est-à-dire qu'il puisse être ramené à la forme
< -i^ ) T = Jik ( «/./ , Xw ) ,
de telle manière que l'on connaisse plus d^ une dérivée., au moins pour un certain nombre de fonctions inconnues. Supposons de plus que toutes les équations obtenues en égalant les
deux valeurs r — -^— que Von pourra calculer d'une dérivée
OX/iOXu'
seconde n' introduisent aucune dérivée première nouvelle et se
336 LIVRK III. — CllAl'ITHK I.
réduisent à des identilés quand on y remplacera les dérivées premières par leurs valeurs (^-6).
Dans ces conditions, choisissons un système quelconque x] de valeurs initiales pour les variables indépendantes xi. Sous les conditions ordinaires de continuité, les équations proposées admettront un système de solutions et un. seul, dans lequel chaque fonction inconnue dont on connaît les dérivées par rapport à certaines variables X/,^, x,,^, ..., X/,^ se réduira à une fonction arbitraire des autres variables quand on donnera aux Xj,. leurs valeurs initiales.
Par exempte, une fonction inconnue dont le système proposé ferait connaître toutes les dérivées pren\ières pourra être assujettie à se réduire à une constante arbitraire quand on donnera à toutes les variables leurs valeurs initiales.
Pour établir cette importante proposition, sans employer un troj) grand luxe de notations, nous nous bornerons au cas de deux et de trois variables i|idépendantes, qui suffira d'ailleurs pour les applications que nous avons en vue.
181. Si nous commençons par sup|)oser qu'il n'y ait que deux variables indépendantes x et y, le système comprendra des fonctions Ui dont on connaîtra la seule dérivée par rapport à x, des fonctions Vh dont on connaîtra la seule dérivée par rapport ky, et enfin des fonctions n\ dont on connaîtra les deux dérivées. Il sera
donc réductible à la forme suivante :
-j^ = fi{ii'h-yi,^'^'m,x,y), — =o-,{un,^-h»'t..x,y).
Nous supposons que les conditions d'intéi^rabilité obtenues en
égalant les deux valeurs de 3 déduites des équations précédentes
^ dx Oy 1 '
n'introduisent aucune dérivée nouvelle et soient identiquement
vérifiées. Pour qu'il en soit ainsi, il faudra d'abord cpie les cp^ ne
contiennent pas les Vi, et que les f^ ne contiennent pas les u/,, ce
TIIOIS THÉORÈMICS SUR DliS SYSTÈMES o' KQ U A T I ONS. iSj
qui ramènera le système proposé à la forme définitive
où les F/ et les <I>;t contiendront, en même temps que x, y, toutes les fonctions. Les conditions d'intégrabilité fourniront les relations
En raisonnant comme pour le théorème précédent, nous remarquerons que, si l'on pose
-iv,
les conditions d'intégrabilité conduisent aux identités suivantes
dont nous aurons à faire usage.
Dans le système proposé, isolons les équations
(il) A/=o, 15/, = 0, Wo£=o.
Elles nous fourniront, d'après le théorème J, des valeurs des fonctions inconnues qui seront entièrement déterminées si l'on assujettit les fonctions ui et Wg à se réduire à des fonctions données u] et (Vg de la variable jk quand on y fera x .= ^„ et les fonctions i'k à se réduire à des fonctions v)^ de la variable .r, pour y=zyf^. Il restera seulement à examiner si l'on peut disposer de ces condi-
338 LIVRE m. — CHAPITUE 1.
lions initiales de manière à satisfaire aux équations
qui sont les seules laissées de côté dans le système (3i).
Or si l'on se reporte aux identités (3o) on voit qu'en tenant compte du système (3i), elles se réduisent aux suivantes :
(3,.) £^=yitw„„
^ ' ()x ^Ow,„
et, par conséquent, d'après une proposition dont nous avons déjà fait usage (n° 179), les fonctions W,g seront nulles pour toutes les valeurs de x, si elles le sont pour x = Xo. Or pour iP = ^0 on a
(33) W?s= ^-U<^ ^Kn^o,y).
11 suffira donc que les valeurs initiales tv" des w^ vérifient les équations différentielles ordinaires, obtenues en égalant à zéro les W?e, ce qui ne présente aucune difficulté. On pourra laisser arbitraires les valeurs initiales iil des Uh et les (v? seront déterminées par la condition de satisfaire aux équations
et de se réduire à des constantes données, a^. par exemple pour w", quand on y fera jk =jKo.
Ainsi, quand les conditions d'intégrabilité (28) seront vérifiées, le système proposé (2'^) admettra une solution, et une seule, pour laquelle les ui se réduiront à des fonctions quelconques u^ des j^, pour x = Xo', les pa se réduiront à des fonctions quelconques Py[. des X, pour y=y0; et enfin les «'j se réduiront à des constantes quelconques «e quand on y fera à la fois x = Xq, y =jKo'
C'est, pour le cas de deux variables, la proposition qu'il s'agissait de démontrer.
182. Supposons maintenant qu'il y ait trois variables indépendantes. Les systèmes que nous aurons à considérer pourront contenir des fonctions figurant par une seule dérivée, d'autres par
TROIS THEOREMES SUR DES SYSTÈMES D EQUATIONS. Soy
deux OU par trois dérivées. Ils seront donc réductibles à la forme suivante :
, Or
(Jx
is.-è-""
où les fonctions ««, (^]i, (Vy sont celles dont on connaît une seule dérivée, tandis qu'on connaît deux dérivées des fonctions y»/, qk^ t'i et trois dérivées des fonctions ,s'£. Les fonctions F, <I>, W^f, cp, -i, 6 ne dépendent que des fonctions inconnues et des variables indépendantes. On n'a écrit qu'une éc[uation pour chaque i;rou|)e.
Un tel système donne lieu à des conditions d'intégrabilité, que
Ton obtient en égalant les deux valeurs de l'une des dérivées , ,' ,
— -T-, - — —, — —5 - — T-, On voit d abord, en procédant a ce
