V dz dx dy Ox dy dx dz dy Oz
calcul, que les fonctions F/, ^k-, ^1/ peuvent contenir toutes les fonctions inconnues en même temps que les variables indépendantes. (Hiant aux autres fonctions, elles ne peuvent dépendre que des \ariables qui sont en regard d'elles dans le Tableau suivant :
Ou
«"'y. Ph-, gii'-, H, ^, y,
<'p, Ph, Oi", s„ X, y,
Ph s /II, 3", y, z;
Fn formant comme précédemment les conditions d'intégrabilité,
34o MVRn: m. — ciiapituk
on sera conduit aux identités suivantes :
àPu OP,i 'y àf-u -^ à/,,- ^ û/,,- yi ,)/„■
-2fe^^-2S^^o^-2
Ro/
Soç,
dx
R,|/ -+- 7 -^ So/« > -^ Po; — >
dont nous aurons à faire usage.
Commençons par isoler, dans le système proposé, les équations suivantes :
A» = o, Qo/. = o,
Gv = o,
Soî= o,
Pi/=o.
D'après le théorème fondamental 1, ces équations admettront une solution, et une seule, pour laquelle les //«, les q^, les P/, les 5e se réduiront à des fonctions déterminées de y et de c pour X = Xq, les i'p, les /?/ à des fonctions déterminées de ^ et de ^ pour y=j(^ et enfin les «'y à des fonctions déterminées de x et de ^ pour z = Zq. La question est donc uniquement de savoir si l'on peut disposer de ces valeurs initiales de manière à vérifier toutes les autres équations.
TKOIS TUKORKMES SLR I) KS S Y ST K M KS DKQtATlONS. 3(1
Pour la commodité de rexposilion, je désignerai par t!^" <'e que devient une fonction T, pour x = iPo! de même par î^*, J^^, ^'", !^'-, '^°*'- ce que devient la fonction quand on y fait, soity =^0» soit z = z-o, soit à la fois a) = Xq, y =y„, etc. Il résulte de ce qui précède que, pour les solutions du système (38), il ne reste plus d'arbitraire dont on puisse disposer que les fonctions u^, t^p, «>y, Pi ■> Çh ''n ^£' 1^^'' contre, sous les conditions de continuité habituelles, ces valeurs initiales soni entièrement arbitraires.
Cela posé, prenons, dans le groupe des équations (38), les suivantes :
Ru/ = o, Soç = o,
et adjoignons-y les équations non encore employées
en faisant partout j' =j''o- Nous serons conduits au système
-;^ = Ai{v'^^ Pin '/,", *c , ^, JKo, -s).
Ces équations, auxquelles satisfont les trois groupes de tonclions pI, z-^', si, détermineront ces fonctions quand on connaîtra leurs valeurs initiales p}^, ;•"', 5"'. Les fonctions /•"', 5"' sont connues puisqu'on s'est donné /•", 5". Mais on voit que les pj seront déterminés par le système précédent, qui ne laissera d'arbitraires que les valeurs initiales pj'-. Ainsi il sera possible de vérifier, dans les conditions indiquées, le système (38) et de plus de choisir les valeurs initiales p'- de manière à satisfaire aux équations
poury :=j„, la fonction />^!- demeurant encore ai-bitraire.
Considérons maintenant les équations que nous n'avons pas employées
(il) R,/=o, Qî/, = 0, S,î=o, 82== o,
et faisons-y x ^ x^^. Klles deviendront
Ce système est de la forme de ceux que nous avons considérés au numéro précédent et qui ne contenaient que deux variables indéj)endantes. D'ailleurs les conditions d'intégrabilité y sont évidemment vérifiées. 11 admettra donc une solution qui sera pleinement déterminée, si l'on donne les valeurs initiales
En résumé, la solution la plus générale du système proposé (o.")) ne peut être que celle dans laquelle on choisit arbitrairement les fonctions ou les constantes wji, c^, «'y, p\'- ^ q^-, rj", s"*'- ; et l'on peut toujours choisir une telle solution de manière que les équations (38) soient vérifiées pour toutes les valeurs de x, y, 5, que les équations (4o) le soient pourj^=y,), quels que soient x et z, et que les équations (40^^ soient pour .27=: .r,,, quels que soient y et z.
Le moment est venu de se servir des identités (36) et (3^). Si l'on y introduit l'hypothèse que les équations (38) sont vérifiées pour toutes les valeurs de x, j', z, elles se réduisent à la forme suivante :
dy
dQudx
^Ri/ dx
dx
TROIS THKOKIÏMKS S b" K DES SYSTIÏMKS d' ÉQUATIONS. 3/i3
el elles nous montrent, en application du théorème général déjà (Muplojé deux fois (n"* 179 et 180), que les P21, QaA? Ri/? S,£, Sas seront constamment nulles si les Pa* le sont pour y =yo, et, si toutes les autres variables Q2A, Ri/, Sig, Sas le sont pour x=^x^^. C'.es deux hypothèses se trouvant réalisées par notre méthode, on peut affirmer que le système (35) tout entier sera vérifié pour toutes les valeurs de ^, jK, -, comprises dans le domaine de continuité; et la proposition que nous avions en vue se trouve ainsi entièrement ('tablie.
