CHAPITRE II

APPLICATIONS DES THKORKMES PIIÉCKDENTS. Applications analytiques. — On envisage d'abord l'équation

ùx dy ^\ ' -^ ' ^' ()x ' Oy]

qui a déjà été l'objet des belles études de M. Emile i'icard. Sous les conditions de continuité habituelles, elle admet une solution, et une seule pour laquelle z se réduit à une fonction donnée de x, pour;>^ =^'o} et à une fonction donnée de y, pour x = x^.

On considère ensuite le système suivant :

()2 e / ()o fXj \

djcd^ - ./3 [T, r> ^> ^ ' -^j '

qui se présente assez souvent en géométrie. Si les conditions d'inlégrabilité

obtenues en égalant les diverses valeurs de sont vérifiées, ce svs-

*' ôxoyôz ' ^

lème admet une solution, et une seule, pour laquelle 0 se réduit à une fonction arbitraire de chacune des variables quand les deux autres variables se réduisent à leurs valeurs initiales.

Applications géométriques. — On considère d'abord la correspondance |)ar plans tangents parallèles, et l'on se propose le problème suivant : étant <lonnée une surface (S) et un réseau conjugué tracé sur (S), trouver toutes les surfaces (S,) qui correspondent par plans tangents parallèles à (S), avec conservation du réseau conjugué.

On donne deux solutions dift'érentes de ce problème et l'on démontre le théorème suivant : considérons sur la surface (S) les deux courbes du réseau conjugué (C) et (D) qui se croisent en un point M de la surface, puis construisons dans l'espace deux courbes (Ci) et (Di) qui se croisent en un point Mi et sont assujetties à l'unique condition d'avoir leurs tangentes respectivement parallèles à celles de (G) et de (D). Il existera une surface (Si), et une seule, donnant une solution du problème et contenant les courbes (Ci), (D,).

La seconde application géométiique concerne la recherche de deux

APPLICATIONS DES THEOKKMKS PRECEDENTS. > yj

systèmes de coordonnées curvilignes qui se correspondent dételle manière qu'aux points correspondants les plans tangents aux surfaces coordonnées soient parallèles, et par suite aussi les tangentes aux courbes coordonnées. Nous dirons alors que les deux systèmes sont parallèles. On montre comment on pourra obtenir de tels systèmes. Ils doivent d'abord être, comme nous dirons, à lignes conjuguées, c'est-à-dire les courbes coordonnées doivent former un réseau conjugué sur chaque surface coordonnée.

Toutes les fois qu'un système est à lignes conjuguées, il admet une infinilé de systèmes parallèles, dont on peut définir comme il suit le degré de généralité.

(Considérons dans le système conjugué connu un point M et les trois courbes coordonnées (C), (Ci), {Ci) qui passent en ce point. Par un point quelconque M' de l'espace, faisons passer trois courbes (C), (Cj), (C'j) assujetties à l'unique condition d'avoir leurs tangentes respectivement parallèles à celles des courbes (C,). Il existera un système de coordonnées, et un seul, parallèle au proposé et pour lequel les trois courbes (CJ) feront partie du système des courbes coordonnées.

Détermination et conditions d'existence des systèmes conjugués. Enoncé géométrique. — Considérons trois surfaces (ii), (Si), (S2) se coupant en un point M et désignons par (C/) la courbe d'intersection des deux surfaces (S/), (S/). Nous supposerons que les trois surfaces soient assujetties à l'unique condition que les tangentes en M à (C^) et (G/) soient des tangentes conjuguées de {^t). Alors il sera possible, et d'une infinité de manières, de tracer sui- chaque surface (S,) un réseau conjugué comprenant les courbes (Ga), (G/). Quand on aura ainsi tracé les trois réseaux sur les surfaces (S,), ce qui comporte l'introduction de trois fonctions arbitraires de deux variables, il existera un système de coordonnées à lignes conjuguées, et un seul, comprenant comme surfaces coordonnées les trois surfaces (S/) et comme courbes coordonnées toutes celles des trois réseaux tracés sur les surfaces (S,j.

J8ii. Nous allons mainlenaiit indiqtier quelques applications très simples des théorèmes généraux développés dans le chapitre précédent. Et d'abord, nous considérerons l'équation aux dérivées partielles du second ordre

qui a été l'objet d'une étude directe de M. Emile Picard ( ').

(') Voir, en parliculier, nos Leçons sur la théorie générale des surfaces, Y l'arlie, Note 1, p. 355 et suiv.

En prenant comme inconnues auxiliaires

on peut constituer le système du premier ordre suivant :

' dz ^-^

auquel s'applique immédiatement notre troisième théorème fondamental et où la condition d'intégrabilité est évidemment vérifiée. Ce système a donc une solution et une seule pour laquelle

Zx se réduit à une fonction /(,r) de x poury =/„ 5o se réduit à une fonction 'f (jk) de y pour x ^ x^^ z se réduit à une constante a pour x ■= x^^ y =:yo-

Il est aisé de simplifier cet énoncé. Gomme on a

ûz

on verra immédiatement que, pourj'=jKo, on devra avoir

z = a -h / f(x)dx.

De même pour x ^= x^^ on trouvera

de sorte que le résultat peut s'énoncer comme il suit: L'équation proposée aura une solution et une seule dans laquelle j se réduira à une fonction déterminée F(x) de x, pour r^y^, et à une fonction ^ (y) dey, pour x=:x^t, ces fonctions F (a?), ^ (y) n'étant assujetties qu'à la condition évidente

F(,ro) = <i'(yo).