APPLICATIONS DES TIIKORÈMES PRÉCÉDENTS
I8i. Considérons maintenant le système suivant,
dx dy ■^'' \ ' "^' ^' (>3: ' 'J^X / ' ([ui se présente assez souvent en géométrie.
En égalant les trois valeurs de -t — r— - que fournit la difterentiao dx dy dz »
tion de chacune de ces équations, et en posant, pour abréger,
^ ' dx ^' dy -' dz
on sera conduit aux deux conditions d'intégrabilité suivantes
... àf, ^df, df, dU , df, , df,
^^^ d^ -^ dîT/'-^W/' ^ ^ "" ^•^' "" dn;-^'
~ dz dfi/- ' d^,-^''
Admettons que ces conditions d'intégrabilité soient identiquement vérifiées; alors, en introduisant 0,, ^a, 0;,, nous pourrons constituer le système suivant :
auquel s'applique évidemment notre troisième théorème fondamental; car les conditions d'intégrabilité y sont vérifiées.
Ce système admettra donc une solution pleinement déterminée par la condition :
1° que 0 se réduise à une constante a pour ^ = a?,,, y=:r^.
Oz
■dl =-^^'
dx •^■■'
3^8 LIVRE (ir. — ciiapitue i i.
2" que 0, se réduise à une fonclion /, [x) de x pourj- = y^^^
3" que O2 se réduise à une fonction /^ {y) de y pour z r= ^„, X = .c,, ;
4" (jue O3 se réduise à une fonclion /a [z) de ; pour j? =^07
Comme on a, par exemple pour y =y„, z = z^^
0 == a + / f)i dx = a-h I fi{x) dx,
on \oit que ces dilîerenles conditions peuvent se remplacer par la suivante :
I^a fonction 0 devra se réduire, poury =j^„, ; =^0, à une fonclion donnée F, (:r); pour z = 5,,, x = :r„, à une fonction donnée h\ ()') de j/; et enfin pour x = ^„,y r^y^, à une fonction donnée F;, (s) de :;, ces trois fonctions n'étant assujetties qu'à la condition, évidente a priori^
F,(ro) = F,(jo) = F,(3,).
J8o. JNous allons indiquer, dès à présent, cjuel(|ues applications géométriques des propositions précédentes.
Considérons d'abord deux surfaces quelconques (S), (S|) et établissons une correspondance entre ces deux surfaces par la condition qu'aux points correspondants M, M,, les plans tangents aux deux surfaces soient parallèles. On sait qu'il existe en général deux tangentes M/, Mm de (S) auxquels correspondent deux tangentes M,^,, M, w, de (S,), respectivement parallèles aux deux jiremières. On sait de plus que les droites M/, Mw sont des tangentes conjuguées de (S); de même que les droites M,«,, M, m, sont des tangentes conjuguées de (S|). Les courbes de (S) tangentes à M^, Mm forment donc sur cette surface un réseau conjugué, auquel correspond sur(S( ) un réseau conjugué que l'on peut dire parallèle au premier; puisque les tangentes des courbes coordonnées, aux points correspondants des deux réseaux, sont parallèles.
Si l'on suppose que la surface (S,) se réduise à une sphère, on retrouve la i^eprésentation spliérique deOauss; et le réseau conju-
APPLICATIONS KKS T II KO l« K M K K P II K C K D K N TS. . Jç)
gué tracé sur (S) devient celui qui est formé des lignes de courbure.
Gela posé, proposons-nous le problème suivant :
Etant donnée une surface (S) et un réseau conjugué tracé sur (S), trouver toutes les surfaces (S, ) qui correspondent par plans tangents parallèles à (S), avec conservation du réseau conjugué.
On peut résoudre cette question de différentes manières.
Soient d'abord x^y, z les coordonnées cartésiennes d'un point de (S) et désignons par p, Oi les paramètres des deux familles de courbes conjuguées tracées sur (S). On sait que x, y, z, considérées comme fonctions de p, O), sont des solutions particulières d'une équation linéaire aux dérivées partielles de la forme
Opopi dp opi
Cela posé, si nous désignons par a?,, y,, s, les coordonnées du point M, de (S,) qui correspond au point M {x,y, s) de (S), nous exprimerons le parallélisme des tangentes aux courbes coor- (btnnées en M, M, par des équations telles que les suivantes :
dxi ^ d.v dxx ^ dx
et celles qu'on obtiendrait en remplaçant les x par les y et les z. Eliminant par dérivation l'inconnue ic,, nous sommes conduits à l'équation
,. , ^ ù^x (Tk dx àkj dx
dp()pi Opi (Jp Op dpx
à laquelle devront satisfaire également y et ^, et qui devra être, par conséquent, identique à l'équation (8). On est ainsi conduit aux deux équations
Opi Op
qui devront déterminer A et )v|. Elles sont d'une forme à laquelle s'aj)plique le tliéoième 1 du Chapitre précédent. Et nous pouvons
SJO LIVHK III. — CllAI'ITUK II.
dire qu'elles adniellent une solution, et une seule, dans laquelle
X se réduit à /(p) pour p,=:pî,
Xj se réduit à ./"[(pi) pour p = a",
11 suffit de se reporter aux é(|uations (9) pour obtenir l'inlerprétation géométrique de ces conditions. Soit M le point de (S) dont les coordonnées curvilignes sont p", p" et soient (Co), (Do) les deux courbes coordonnées de (S) qui se croisent en M. Par un point quelconque de l'espace M, on mènera deux courbes (C„), (D„), assujetties à l'unique condition d'avoir leurs tangentes respectivement parallèles à celles de (Cq) et de (Do). Il y aura une surface (S,), et une seule, passant par les deux courbes ainsi construites.
A propos de cette première solution, remarquons que, si l'on prend comme inconnue auxiliaire
