APPLICATIONS DES TIIÉORÈMKS PRÉCÉDENTS. J
donc la même pour (S) et pour (S,) et, par conséquent, la sui face (S)) sera l'enveloppe du plan
u .T -i- vy
où 6 sera la solution la plus générale de l'équation (i4). Cette solution 8 peut être déterminée, nous l'avons vu, par la condition de se réduire à/, (p,) pour ^ = ^^ et à f{^) pour p, = ^\. En interprétant ^géométriquement ces conditions, on retrouvera le rc'sultat fourni par la première méthode.
187. Nous n'insisterons pas sur les applications des méthodes précédentes, que nous avons développées dans nos Leçons sur la théorie générale des surfaces^ plus particulièrement en ce qui concerne le cas particulier de la représentation sphérique; et nous passerons à un problème qui intéresse plus directement les coordonnées curvilignes dans l'espace.
Proposons-nous de rechercher s'il existe dans l'espace deux systèmes de coordonnées curvilignes jouissant de cette propriété, qu'aux points correspondants, c'est-à-dire aux points de mêmes coordonnées curvilignes dans les deux systèmes, les plans tangents aux surfaces coordonnées de même nom soient parallèles. Si cela a lieu, il en sera évidemment de même en ce qui concerne les tangentes aux courbes coordonnées.
Soient x^ y, z et x\ y', s', les coordonnées des points M et M' <|ui correspondent aux mêmes coordonnées curvilignes p, p,, pa- Pour formuler analyliquement les conditions cherchées, il n'y aura qu'à écrire les équations
{ii\)
dx' . dx
dx' . (IX
dx' . dx
ofi ~ ''^'
dfi^'^'df.
oy
Op " '
ôz'
qui |)euvent s'écrire sous la forme plus abrégée
du' (h/ dpi 'do,'
35i L I V lu: 1 1 r. — c 11 a i» i t h k i i .
où i doit recevoir les valeurs o, i, 2, et où «, u' doivent être remplacées successivement par ar, x'; y^ y'; s, z'.
Si, entre les équations (17), on élimine les u' par did'érenliation, on sera conduit aux. trois équations
, à'-ii Oh, ùa ôl/, Ou
'8) (ki—l/,)- — ^ h- ■ — - — - = o,
Opi Oo/- OO/,: Opi Opi Opi-
où i est dilFérent de k et qui devront admettre les trois solutions X, y, z. Posons
Op/c
elles prendront la forme
O^ti, Ou Ou , . ,
i 20) --— i- au, H <(,,i -7— = o {17^ k)
OpiOpk Opi Opu
et rentreront dans le type qui a été considéré au n" 18i. En appliquant la méthode que nous avons exposée et formant les conditions d'inlégrabilité, nous aurons des équations telles que les suivantes :
[ àau; \ i')u f()ai,i \ Ou . ^ du
du f ôa/;i \ du
= —{a/., au, 4- rt//, au )- 1- aki aui I 3—
àpi \ àpi ) dpk
I Oauc \ du
où /, X', / sont différents. Comme cette équation doit admettre trois solutions indépendantes ^,y, 5, entre lesquelles il ne peut exister aucune relation, elle doit avoir lieu identiquement. En égalant donc les coefficients des mêmes dérivées, on sera conduit à deux équations de types différents
àai,i àai,i ' àpi ~ dpi '
, . àatk
( ■l'i ) —, — = fin, au — aiu au,— au, au.
dpi
La première permet de réduire à trois les six fonctions aih en
