APPLICATIONS DES THÉOUÈJIES PRÉCÉDENTS
j)Osant
I dUi
La seconde, après le changement de i en /, prend alors la forme [)lus simple
ân\/ \ôlhàUj I t)H/, âU,
' ' àpjôôj, [li àp^ Opi ~~ H/, ()pi <Jp/, ~~^'
En résumé, l'inlroduclion des fonctions H/ ramène les trois équations du système (20) à la forme
ô-^a 1 ()U, Ou i ()U/, au /• ^ ,x
'-■'^ •^'•'•(") = ;^^77^.-h;;^.-^-iï7;i^^=^^ ^'^^■^'
et les conditions d'intégrabilité (2/1) s'expriment alors sous la forme très simple
11 importe de remarquer que, si les valeurs des H, H,, H^ déterminent la forme du système (ao), la réciproque n'est pas vraie. Car ce système ne change pas si l'on y remplace H, par H,//(o<). Nous aurons, plus d'une fois, à faire usage de cette remarque.
188. Puisque les équations (26) sont au nombre de trois seulement, il est clair qu'elles détermineront une infinité de systèmes de valeurs de H, H,, Ho. Et par conséquent, il existe une infinité de systèmes de la forme (25^ pour lesquels les conditions d'intégrabilité seront satisfaites et qui admettront des solutions dont nous avons fixé plus haut, au n" 18i, le degré de généralité. Pour obtenir les systèmes de coordonnées qui leur correspondent avec parallélisme des plans tangents, nous dirons pour abréger, qui leur sont parallèles^ il restera à intégrer les équations (19), qui deviendront maintenant
puis les coordonnées du point du système parallèle s'obtiendront D 23
par les quadratures
(27) du'=y'ki—-àoi.
Toute cette solution se simplifie beaucoup, et devient infiniment plus élégante si, à côté des fonctions H^- et m, on introduit les 6 quantités jS^vr et les 9 quantités U/ (X/, Y/, Z/), définies par les relations
Il est aisé de voir que l'on pourra alors remplacer les équations (20) et (26) par le système du premier ordre suivant :
qui décompose en quelque sorte la difficulté. Il y aura d'abord à intégrer le système (A), qui fournira les valeurs de six fonctions j3,a; puis le système (B), dont il faudra prendre trois systèmes de solutions X, X,, X2 ; Y, Y,, Y2 ; Z, 5C,, Z2; ensuite le système ( B'), qui fournira H, H, , H2 ; enfin le système (C) donnera 5:, y-, z par trois quadratures.
189. D'après cela, on voit immédiatement que si, gardant le même système de valeurs pour les 3/a et les U/, on prend un autre système de solutions H', H',, H'^ du système (B') on aura un nouveau système de coordonnées qui sera parallèle au premier. Il est facile de voir qu'on aura ainsi tous les systèmes parallèles aux premiers.
Reprenons en elïet les formules (17), où nous remplacerons les
àp/c
àpK-
du
APPLICATIONS DES THÊORKMKS PKÉOKDENTS. 355
ileuis des -r— par leurs expressions (C). Elles deviennent
du' ,,, j,
en posanl
do/, 0?i
résultant des formules (3i), pour en déduire, en tenant compte des équations (B),
et il est ainsi établi que notre méthode donnera, en même temps que les systèmes de coordonnées curvilignes cherchés, tous ceux qui leur sont parallèles. 11 suffira, pour cela, de conserver les U/et par conséquent, les ,3/a, mais en substituant aux H/ un autre système <[uelconque de solutions H^ du système (B').
Avant d'aller plus loin, donnons l'interprétation géométrique des résultats obtenus. Les équations (20) ou (20) expriment évidemment que les courbes coordonnées forment un réseau conjugué sur chacune des surfaces coordonnées. Cette propriété était facile à prévoir, d'après les résultats rappelés aux n'"* I80 et 186. (^uand un système de coordonnées curvilignes la possédera, nous dirons que ce système est à lignes conjuguées. D'après cette définition, nous pouvons énoncer les théorèmes suivants :
Les seuls systèmes de coordonnées curvilignes qui admettent un système parallèle sont les systèmes à lignes conjuguées.
Réciproquement tout système à lignes conjuguées admet une infinité de systèmes parallèles dont nous définirons ultérieurement le degré de généralité.
Enfin la détermination de tout système à lignes conjuguées et des systèmes qui lui sont parallèles dépend de l'intégration
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successive des systèmes du premier ordre (A), (B) (B') et des quadratures (C).
Ces résultats étant établis, il est f'aeile de déterminer le deg^ré de généralité de la solution.
D'après le pieniier de nos théorèmes fondamentaux, le système (A) admet une solution, et une seule, dans laquelle chacune des fonctions ^^ik doit se réduire à une fonction arbitraire /^a (o/, oa) pour p/=: p". C'est dans ce sens que nous dirons que son intégrale générale dépend de six fonctions arbitraires de deux variables.
Les fonctions ^,Vf une fois connues, les systèmes (B) et(B'), qui sont de même forme, donnent lieu à des intégrales, de même généralité pour l'un et pour l'autre. Le système (B), par exemple, admettra une solution pleinement déterminée par la condition que U, se réduise à une fonction quelconque de p/ pour oy^ = p/|., p/ = p° . Comme il faut prendre, pour avoir les X/, les Y/, les Z,-, trois solutions distinctes du système (B), on voit que l'intégration des systèmes (B), (B') introduira douze fonctions arbitraires d'une variable; après quoi, les coordonnées rectilignes x^ y, z s'obtiendront par de simples quadratures.
190. Le degré de généralité de la solution étant ainsi déterminé, revenons au problème proposé. Supposons que l'on ait déterminé un système conjugué, et proposons-nous de trouver tous les systèmes parallèles. D'après ce que nous avons vu, il faudra garder les mêmes valeurs des Uj, et par conséquent des [3//i, mais substituer aux H/ d'autres solutions du système ( B'). Ainsi les systèmes parallèles dépendront de trois fonctions arbitraires d'une variable.
Mais à ce résultat, de forme tout analytique, il convient d'adjoindre son expression géométrique.
Considérons, dans le système conjugué supposé connu, un point M quelconque, et les trois courbes coordonnées, (C), (C,), (C2),qui passent en ce point, les indices étant choisis de telle manière que, seule, la coordonnée p/ varie sur la courbe (C/). Par un point quelconque M' de l'espace, faisons passer trois courbes (C), (C,), (C,), assujetties à cette unique condition que la courbe (C^) ait ses tangentes parallèles à celles de (C/). Il y aura un système de coordonnées parallèle au proposé, et un seul, pour leqttel les trois
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courbes (Q) feront partie du système des courbes coordonnées.
Adjoignons, en effet, à l'une quelconque des courbes (C/) sa courbe parallèle (C^). Si l'on désigne par x^ y, z el x', y', z' les cooi'données de deux points correspondants des deux courbes, c'est-à-dire de deux points où les tangentes sont parallèles, on aura è\idemment
dx' dy' dz' dx dy dz
Déterminons une fonction W- de o/ par la condition
dx' H , du' dx \\i du '
on aura évidemment, en tous les points de (Q),
du — \\i\]id-ji.
Il suflira donc d'intégrer le système (IV) en prenant pour valeurs initiales des H/ les fonctions H', que nous venons de déterminer, l^a solution sera unique. Il ne restera plus qu'à déterminer les constantes introduites par les quadratures finales de manière que le point M' corres})onde au point M, et alors les courbes (C,) correspondront aux courbes (Q).
191. On peut présenter aussi sous une foi-me entièrement géométrique la projiosition générale relative à l'existence des systèmes conjugués.
Considérons trois surfaces (S), (S, ), (Sa)? se coupant en un point M, et désignons par (C,) Tintersection des surfaces (S;v), (S/). Nous supposerons seulement que les surfaces soient assujetties à cette unique condition que les tangentes en M aux deux courbes (Gy;), (C/) soient des tangentes conjuguées de (S/).
Il sera possible alors de tracer, d'une infinité de manières, sur chacune des surfaces (-/), un réseau conjugué comprenant les deux courbes (Ca), (C/). Par exemple, nous tracerons sur (S<) une famille de courbes (Qy..), assujettie à comprendre la courbe (G*), chaque courbe (G'^^^) devant admettre pour tangente, au point où elle coupe (G/), la tangente conjuguée de la tangente à (G/). Alors
la famille des courl)es(C',/), conjuguées des courbes (C^/i), comprendra évidemment la courbe donnée (C/); et nous aurons constitué ainsi un réseau conjugué dépendant d'une fonction arbitraire de deux variables.
Admettons que nous ayons ainsi divisé chacune des surfaces (S/). Nous allons montrer qu'il existera un système conjugué, et un seul, admettant pour sui'faces coordonnées les trois surfaces données et pour courbes coordonnées les courbes tracées sur ces trois surfaces.
Pour bien préciser la démonstration, nous conviendrons que l'on prendra pour coordonnées curvilignes les arcs comptés sur les trois courbes initiales (C/); de sorte que o/ sera l'abscisse curviligne, comptée à partir de M, interceptée sur la courbe (Ci) par la surface de paramètre p,. Nous savons que les coordonnées .r, y, z satisfont à trois équations de la forme
, rP-u I dlii Ou I dU/,- du
qui ne changent pas de forme si on multiplie H, par une fonction quelconque de p,, de sorte que nous pourrons supposer que H/ soit égal à l'unité sur la courbe (C,), c'est-à-dire
H/=i pour p/,= p/=o.
[/équation (Sa), devant être vérifiée pour tous les points de l'espace, devra l'être, en particulier, sur chacune des trois surfaces (S/); de sorte que, si l'équation poncluelle relative au réseau conjugué tracé sur (S/) est
d'^u du du
(33) ^ au,- a la-— = o,
ap/ do/,. dpi dp/,
elle devra êti-e identique à l'équation (Sa), ce qui permettra
d'écrire
I dlii I dU/,
Hj dp/, H/^. dpi
OU, en intégrant et tenant compte des hypothèses faites plus haut,
/ "ik <IÇk / "ki rfp:
