APPLICATIONS DES THÉORÈMES PRÉCÉDENTS

Ainsi, H/, Hyt seront connus en tous les points de la surface{^,).

Il en sera donc de même de

Les valeurs initiales des '^Hf élanl connues, il sera possible d'inlégrer le système (A), qui aura une solution pleinement déterminée.

Si l'on passe maintenant aux systèmes (B) et (B'), on verra qu'ici encore, les conditions initiales déterminent pleinement leur solution.

Par exemple, pour le système (B'), on a

pour pA=p/:

Pour le système (B), on a

c'est-à-dire en un point de G, où -j— est pleinement connu. I dç>i ^

Enfin les quadratures finales devront être elTectuées de telle manière que le point M corresponde à des valeurs nulles de toutes les coordonnées curvilignes.

FI ne reste plus qu'à montrer que le système ainsi obtenu satisfait aux conditions proposées.

Remarquons d'abord que, d'après la manière dont l'intégration a été dirigée, le système comprendra les trois courbes (C/). Il est aisé d'établir qu'il comprendra les surfaces (S/) et les courbes qui y ont été ti'acées.

Démontrons, par exemple, que la surface pour laquelle on a p/ = o est identique à la surface (S/), ou mieux, que le réseau (les courbes coordonnées tracé sur cette surface est identique à celui qui a été adopté pour la surface (S^). Or, d'après l'identité (les équations (Sa) et (33) pour les deux surfaces, l'équation j)onctuelle relative au réseau conjugué (p,, p^) est la même dans les deux cas. D'autre part, comme les deux surfaces contiennent

36o LIVRE m. — chapitiih: m.

l'une et l'autre les courbes (C/), (Cyv), les valeurs initiales des coordonnées cartésiennes «, c'est-à-dire leurs \aleurs, soit pour p/ = o, soit pour p/, = o, sont les mêmes.

Comme il est impossible d'avoir deux solutions de l'étpiation (33) qui correspondent aux mêmes valeurs initiales, il faut donc que le réseau tracé sur la surface (S/) soit identicpie au réseau, correspondant à l'hjpotlièse p/= o, de notre système conjugué.

L'énoncé géométrique que nous avions donné plus liant se trouve ainsi entièrement établi.