CHAPITRE m

LKS SYSTEMES A LIGKES CONJUGUEES.

Rappel des équations aux dérivées partielles qui servent à déterminer les systèmes à lignes conjuguées. — Le système fondamental des six équations aux dérivées partielles qui déterminent les inconnues p,/^ peut être remplacé par une seule équation du sixième ordre à laquelle doit satisfaire une certaine fonction V dont la connaissance entraînera celle de toutes les fonctions [3//, . L'introduction de la fonction V met en évidence une propriété du système (A) auquel satisfont les ^ik. Si Ion a une solution de ce système

on en aura une plus générale en remplaçant les p//, par ^/a-— -> où «« ne

dépend que de p,-.

Système? complémentaires d'un système conjugué. — Ils sont caractérisées par cette propriété qu'aux points correspondants des deux systèmes, les trièdres formés par les tangentes aux courbes coordonnées sont supplémentaires. Les systèmes supplémentaires sont aussi à lignes conjuguées. Quand le système considéré est ortliogonal, les systèmes supplémentaires se confondent avec les systèmes parallèles au proposé. Formules relatives à deux systèmes supplémentaires. Il y a, en particulier, une relation différentielle intéressante analogue à celle qui donne l'élément linéaire d'un système triple.

Etude du cas où les fonctions V relatives à deux systèmes supplémentaires sont identiques. — Il faut distinguer deux hypothèses. La première conduit à cette conséquence que les fonctions [3,7^ du premier système doivent être égales aux P/., du second. On peut mettre les équations qui déterminent les deux systèmes soiis une forme telle que les fonctions. p,;i, X/, X'/ ne dépendent que des différences de p, pi, p». La seconde hypothèse conduit à une solution différente de la précédente et qui pouvait être prévue : celle qui est fournie par les systèmes triples orthogonaux.

L'étude de la question précédente conduit à la détermination de tous les systèmes de coordonnées curvilignes jouissant de celte propriété que le Iriédre formé par les tangentes aux lignes coordonnées conserve son orientation quand son sommet décrit une courbe.

192. Dans le Chapitre précédent, nous avons vu que la détermination des systèmes conjugués dépend de l'intégration des systèmes suivants :

(A) ^ = ri,,p,,. {i,^k^l\

OÙ les notations u^ U^ s'appliquent à l'une des coordonnées et doivent être remplacées successivement par ic, X/ ; j, Y/; ^, Z,. Nous allons examiner maintenant ce que l'on pourrait faire pour intégrer ces différents systèmes et en particulier le premier, dont l'intégration constitue évidemment la principale difficulté du problème.

Nous avons àéyd vu (n"^ 189 et suiv.) quel est le degré de généralité de sa solution. Bien qu'une telle réduction soit loin de constituer toujours un avantage, nous allons montrer qu'on peut toujours ramener l'intégration du système (A) à la détermination d'une unique fonction V, qui sera assujettie seulement à vérifier une équation du sixième ordre.

Si nous nous reportons aux équations (A), nous verrons facilement qu'on en déduit les suivantes :

si donc, on pose

on aura

dp 2 dp dpi

Ces équations, déjà remarquées par Lamé, mais dont l'illustre géomètre n'a pas fait usage, montrent qu'il existera au moins une

fonction V de p, p,, Oo telle qu'on puisse poser

Nous allons voir que l'on peut exprimer tous les ^ik en fonction de V; mais pour simplifier l'écriture, nous conviendrons de poser

àp, àp/,- '' dpi dp/,- dp/

On a alors

(5) PzA- P/./ = «/,

Il est aisé de voir d'abord que l'on pourra exprimer m et n en fonction des dérivées de V. A. l'équation (6), en eft'et, on peut joindre la suivante

(7) mn = «ai «2

qui résulte des équations (3) et nous permet d'écrire

( <xn =b — ^b'^— i\aaiai,

le radical ayant son signe implicite.

Si l'on prend maintenant, par exemple, l'équation

on en déduit

dp ~ a

.^efr.-".

et, par conséquent,

On aura de même

Une fois obtenues ces trois valeurs, les équations (5) fourniront p2Jî Poa? Pioi et il ne restera plus qu'à exprimer que les valeurs précédentes vérifient la première des équations (1), ce qui conduira à

3^4 LIVKK III. — CHA1MTRI-: III.

la condilion

(12) / -dp -h / —dpi-h / —d'-Ji^-S'm.

./ « J «1 ' J cf-2 ' ^

II siiinra inaiiilenanl de dilFérentier successivement par rapport à p, p,, Oo pour oluenir l'équation

ûpâpiûp., dpiOpiXa) '^ àpOpiXaJ ''^ ôpûpi\aj'

à laquelle devra salisAvire la fonction V. C'est une équation du sixième ordre; malgré les apparences, elle est rationnelle; car si on y change le signe du radical, ce qui, d'après les équations (8), revient à échanger m et /i, puis si l'on ajoute les deux résultats ainsi obtenus, on est conduit à une identité, en vertu de la relation (7).

De là résulte encore que l'équation du sixième ordre en V admet l'intégrale particulière

(i4) m — n, 62— 4aai«2 = o.

C'est une remarque importante et dont nous aurons plus d'une fois à faire usa":e.

193. L'introduction (') de la fonction V suggère un certain nombre de propriétés du système (A). Remarquons d'abord que la fonction V relative à un système (A) n'est déterminée que |)ar ses

dérivées ^ — — • Donc à un système (A) correspondent une infinité

de fonctions V définies par la formule

où fi (pi) désigne une fonction arbitraire de o/.

Réciproquement, à une fonction V donnée correspondent une infinité de systèmes de valeurs des [3/^-

En effet, puisque la fonction V satisfait à léquation ( i3), nous aurons évidemment, en remontant à l'équation (12) et en donnant

(') Celle inlrodiiclion a élé faile par nous en 1866 clans le Mémoii'C Sur les surfaces orthogonales qui nous a servi de tlièse {Annales de l'École Normale, 1"' série, t. III, p. 97).

LKS SYSTEMES A I, I G XK S CONJ U G U K KS. 305

une notation précise aux intégrales, une relation de la forme

Je n f^' n r^' n

po a J^„ a, J^„ a, ^

-+-/(?„ p2)-f-/,(p,,p2) + /2(p,pi),

les//(p/f^ 0/) étant des fonctions nettement déterminées. D'autre part les é([uations (lo) et (i i) pourront s'écrire

les 'j>i{p/(, Pi) étant à déterminer par la condition que le produit ,Ji2 l^jo 1^0) soit égal à m, ce qui donnera l'équation

4^m= / -dp-h / ~«?pi-+- / — 6?p2-H(f(pi,p2) + c5i(p,p2) + cp2(p,pi),

ou, en comparant à l'équation (i(3),

?(pl, P2) + 9l('?, ?2) + ?2(?, ?l) = fi?U ?2)+/l(?, ?2)+/2(p,pl)-

La solution générale de cette équation sera évidemment fournie par les formules

( ?2(p, ?i)=/2(p, pi) + -ll« — -Ca,,

où a< désigne une fonction arbitraire de p/.

Ainsi, si l'on a un système de valeurs des [^//f correspondant à une valeur de V, on en aura un plus général en efïectuant la substitution

eu a, est une fonction arbitraire de p/.

Si nous remarquons enfin que, changer le signe du radical, cela

revient à échanger m et n, ou encore les deux indices des fonctions p/>^, on sera conduit au résultat suivant :

Quand on a obtenu un système de valeurs ,3/^ correspondant à une fonction V, on aura toutes les solutions correspondantes à la même valeur de V, en adoptant l'une ou l'autre des formules

('!)) ?;•/.■= P/^-^' ou (..o) ^',,= ^,,^,

dans lesquelles a/ désigne une fonction arbitraire de p,-.

Celte proposition est intéressante au point de vue de l'intégration du système (A) ; mais il est facile de voir que les fonctions a,, a^ ne jouent aucun rôle dans la solution finale. Prenons, par exemple, les formules (19). I-es nouveaux systèmes (B) et (B') deviennent ici

et se changent dans les anciens si l'on [)0se

, du

ce qui ne change pas — • •

Si au contraire on prend les formules (20), on a

et ces systèmes se changent respectivement dans les systèmes (B') et (B) si l'on pose

u;'=a,ii„ h;'=-U/.

La seule remarque nouvelle à déduire de là, c'est que si l'on a un seul système de solutions Ui du système (B) et trois solutions H,, H^., HJ du système (B'), les formules (C) définiront encore les trois coordonnées rectangulaires d'un système à lignes conjuguées. En d'autres termes, o/i peut échange?' les systèmes (B) et (B').

étudiés avec quelque détail dans la IV" Partie de nos Leçons, possèdent un grand nombre de propriétés pauni lesquelles nous sig;nalerons la suivante : à tout système de cette nature on peut en associer d'autres tels qu'aux points correspondants des deux systèmes, les trièdres formés par les tangentes aux lignes coordonnées soient, non pas parallèles, mais supplémentaires.

Considérons, en efTet, un système à lignes conjuguées quelconque, et soit M un point quelconque de l'espace de coordonnées X, j', z. Trois plans perpendiculaires aux tangentes des courbes coordonnées en M auront pour équations

, , , r)a" , dv , àz .

{■i\) X h y -7 ^ z -— — Ij,

àpi àpi (^?i

x',y. z' désignant les coordonnées courantes et /pouvant recevoir les valeurs o, 1,2. Pour que ces trois plans soient les plans tangents aux surfaces coordonnées d'un nouveau système de coordonnées curvilignes décrit par leur point d'intersection M', il faudra qu'en prenant l'enveloppe du plan précédent où l'on ferait varier pA et p/, c'est-à-dire en prenant les dérivées de l'équation précédente par rapport à p^ et à p/, on obtienne une équation qui soit une conséquence des trois équations (21).

Prenons la dérivée par rapport à pA, par exemple, nous aurons

dçti do/c dpi ôpi; dpi dpf; dp/^

si l'on remplace les dérivées secondes par leurs valeurs déduites des équations (25) (n" 187), on sera conduit, en tenant compte des équations (21), à la condition

, , d\i I ùHi. I d\\,,.

(l-2) jT- - — A,— ---— — A/,= 0.

àpk iii Op,, H/, ôpi

Echangeons i et A, nous aurons évidemment

c*p/, ~ ôpi' nous serons donc conduits à poser X, = — ? 0 étant une incon-

^ Opi

nue auxiliaire et, en substituant dans la relation (22), nous aurons

(j^o i dUim I dw,, c)o

ôpi àpk Mi Opk dpi H/, "ôp7 dpk ~ *^'

3()8 i.iVRK m. — chaimtuI': m.

en sorte que 9 devra satisfaire aux trois mêmes équations linéaires que les coordonnées cartésiennes x, j-, z. Nous sommes donc conduits au tliéorème suivant:

Toutes les fois que l'on coiinaU un système (S) à lignes conjuguées^ on peut en déduire une infinité de systèmes de coordonnées curvilignes (S), caractérisés par cette propriété que les trièdres aux points correspondants de (S) et de (S) soient supplémentaires^ ou, en d^autres termes^ que les tangentes en ces points à deux courbes coordonnées qui ne se correspondent pas dans les deux systèmes soient perpendiculaires.

Les systèmes (S) sont définis par les trois équations :

,dx ,ùv , ')z dO

(lA) X h Y 1- z = )

dÇi -^ OOi Op,- âpi

où 8 sera assujetti uniquement à vérifier les trois équations (^3) dont X, y, z sont déjà des solutions particulières.

195. Deux systèmes (ï) qui correspondent à deux valeurs distinctes de 8 se correspondent évidemment, l'un à l'autre, avec parallélisme des plans tangents aux points homologues. Et, par conséquent, eux aussi sont des systèmes à lignes conjuguées.

La réciprocité est donc complète entre les systèmes (S), (S). Elle se traduit d'ailleurs par les équations

dx' ()x dv' ày àz' dz , ■ , ,

àp/i àpi dp/, dp,- dpi- dpi

que l'on obtient en différentiant totalement les équations (24) par rapport à o/^.

On peut établir, comme il suit, la correspondance entre les deux systèmes (S), (S). Considérons la sphère (L), définie par l'équation

x'^-hy'^-+- -S'2 7.x' X -iyy — 'ÀZ'Z -h -i^ — O

et dont le centre est le point M de (S). Lorsqu'on fait varier p, p,, p^, le centre radical de cette sphère et des sphères infiniment voisines est le point M'. Lorsque le centre de (L) se déplace sur une des surfaces coordonnées, elle a un axe radical qui est la tangente en M' à une des courbes coordonnées de (S). Enfin si le centre de (U)

m;s systkmes a ligniîs coxj ugui':ks. j<j<)

se déplace seulement sur une des courbes coordonnées de (S), elle a un |)lan radical qui est tanj^cnl en M' à une des surfaces coordonnées du syslème (S).

Ainsi, à tout système de coordonnées curvilignes à lignes conjuguées, nous pouvons faire cori'espondre deux autres séries de systèmes de même nature : les systèmes parallèles, et ceux que nous avons déterminés en dernier lieu et que nous a|)pellerons les systèmes supplémentaires. Ces deux séries sont, en général, distinctes, mais elles se confondent évidemment si le système primitif est orthogonal. Nous retrouvons alors le théorème bien connu de Combescure : à tout système orthogonal, on peut faire corresj)ondre une infinité de systèmes parallèles. Ces systèmes parallèles, orlhog'onaux comme celui d'où ils dérivent, peuvent être déterminés par l'une ou l'autre des méthodes que nous avons appliquées aux systèmes conjugués. Leur degré de généralité est défini par la proposition du n" 190. 11 suffira de faire passer par un point M' de l'espace trois courbes (C), (C',), (C!,), assujetties uniquement à avoir leurs tangentes parallèles à celles des courbes du système orthogonal proposé qui se croisent en un point détenuiné, mais quelconque, M de l'espace. Il existera alors un système orthogonal, et un seul, admettant ces trois lignes (C^) comme courbes coordonnées.

L'ensemble de deux systèmes supplémentaires mérite, comme on voit, d'être étudié, puisqu'il pourra nous donner des propriéu'îs nouvelles des systèmes orthogouaux.

19(3. Revenons donc aux systèmes supplémentaires (S), (S), décrits par les points correspondants M(d:,y, :;), M'(jc',jk', z'). On pourra poser, comme on sait, en désignant toujours par des lettres accentuées les quantités relatives au second système :

= ?aX/,,

= ^ulh,

d'autre part, les relations (20) nous donnent

( 3 2 ) X,- X';, -+- Y,- Y'/, + Zi Z'/, = 0 {i :^ A).

370 LIVHK m. — GHAlMTHi: III.

Considérons la somme

D'après les formules (28) et (1^9), on verra que sa dérivée par rapport à p/t et à pi est nulle. C'est donc une fonction de o/, et même une fonction de p/ dilFérente de zéro. Comme on peut multiplier, soit les fonctions X/, soit les fonctions X' , par une même fonction de pi, on voit qu'en choisissant convenablement les X/ et les X',, on pourra supposer

nous adopterons cette hypothèse dans la suite.

Posons maintenant, ce qui est évidemment permis,

dXi -. ., ,,

— = a,- \i — pu, X/, — pu X/,

'-^ = a'/ X', - pik X/, - Pu xi,

a/, a, , pik. . . . , p'i,^ étant des fonctions à déterminer. On trouvera facilement, en difierentiant les équations (Sa) (33),

p'ik = P'-^-' Pii< = ?;•/, , ^'i = — a,-,

ce qui donnera les relations

(35) ^ =-a,X,-P/,,Xi.-P;,Xi.

Puisque nous avons toutes les dérivées de X/,X'^, ily alieu d'écrire les conditions d'inté^rabilité. Nous obtenons ainsi les relations

âct- <Jp/c

et toutes celles qu'on peut en déduire par des permutations.