TT

àpi

de sorte que, si l'on sait intégrer complètement le système (B), on aura, par cela même, tous les systèmes supplémentaires du système proposé.

3'x ï, iviu<: m. — ciiaimtuk m.

198. Nous terminerons cette étude des systèmes conjugués en renvoyant aux développements que nous avons déjà donnés dans nos Leçons sur la théorie générale des surfaces^ (IV" Partie, Livre VUI, Chap. XII) et nous nous bornerons à rechercher tous les cas dans lesquels les fonctions V relatives à deux systèmes supplémentaires peuvent être supposées identiques l'une à l'autre. Dans ce cas, on aura

(5-2) ?a?'u=?'ac'^'/,n

et par conséquent, d'après les formules (3()) a, sera fonction de la seule variable p^-. Nous voyons, de plus, d'après ce que nous avons <'tal)li au n" 193, qu'on aura,

soit '^'u,r= — P/,/,

soit 3^^=f3,,,

<5i désignant, dans l'une et l'autre hypothèse, une fonction de p/.

Commençons par examiner la première hypothèse

Nous allons d'abord montrer qu'on peut, par un choix convenable des X/, H/, p/, simplifier cette relation.

En elTet, sans changer aucune des formules fondamentales que nous venons d'établir relativement aux systèmes conjugués et à leurs supplémentaires, on reconnaît aisément qu'on peut y faire la substitution suivante,

( hk l'oins if!,, S',/.- 1 p;-/.-

, y.i Ki Si OLi -4- /■,•

Si àpi

ri, Si désignant des fonctions quelconques de la seule variable p/. D'après cela, si l'on substitue aux coordonnées p/ les nouvelles

coordonnées p^ délînies par les formules

on ramènera l'équation (a) à la forme plus simple

Si, de plus, on prend

/"a, '/p.- I -fa; ./p.- •

on verra que a/ disparaîtra dans les formules (34), (35); de sorte (|ue, en tenant compte des équations précédentes (F), les formules (3^), (34), (35) nous donneront ici

"S désignant toujours l'opération

Ainsi les X/, les X',, les ^/a sont fondions de deux variables, seulement^ à savoir les différences de p, p,, p2. Il en sera donc de même, si l'on veut, de la fonction V, qui ne dépendra plus, par exemple, que des différences o-^^i pi"? a? mais demeurera toujours assujettie à vérifier une équation du sixième ordre, l'équation (i3).

Les X,, les X^ , qui ne dépendent que des mêmes différences,, seront, en vertu des équations (!'), définis par les systèmes

(57) ^ = :i/,,xi.

(jui deviendront, dans cette hjpothèse, des systèmes complets, dont l'intégration introduira seulement des constantes arbitraires. Les.

374 LIVRE m. — CHAPITRE H

H,-, H'j seront déterminés par les systèmes

qui, aux notations près, sont identiques aux deux précédents. Enfin les P/, P) seront déterminés par les systèmes

qui sont encore identiques aux systèmes (56) et (57).

Remarquons encore, comme conséquence des formules (5o), (5i) les relations suivantes :

(69.) ^ ii, = .s'(p;),

qui feront connaître H/, W- lorsque P/, P', seront connus.

199. Examinons maintenant la seconde hypothèse envisagée au n" 196.

En répétant un raisonnement déjà fait, on verra facilement que la substitution

ramène la relation (6) à la forme plus simple

Alors, les relations (3"-) deviendront

Par l'échange de i et de /v, cette relation se décompose dans les

LES SYSTÈMES A LIGNES CONJUGUÉES. 'ij5

deux siii\antes :

Si les a/ sont tous nuls, ces dernières relations sont vérifiées; les \i satisfont aux équations

et aux suivantes,

qui forment avec les précédentes un système complet. Ce système admet les intégrales

XJ -+-X1. -^Xj =const., X,Y,-+ Xa-Y/^-H X/Y/= const.,

et de là, il n'est pas difficile de conclure qu'on peut, sans restreindre la généralité, prendre pour les X/, Y/, Z< un système de () cosinus liés par les relations classiques. Alors on a

Le système proposé est orthogonal; il en est de même de son complémentaire, qui lui est aussi parallèle.

Cette solution pouvait êlre prévue. Car elle est évidente a priori.

Passons maintenant au cas où les a^ ne sont pas nuls. En gardant les X/ et prenant les nouvelles variables

='/= / s^idpi

on aura

et, par suite, la fonction V satisfera cette fois à l'équation du troisième ordre du n" 192,

Mais nous ne poursuivrons pas l'étude de ce cas s|)écial, que

37<1 MVRE m. — CIIAPITUE III.

nous rencontrerons plus tard dans la théorie des systèmes orthogonaux, et qui peut d'ailleurs se rattacher à l'hypothèse (a), puisque le rapprochement des équations {h) et (68) nous conduit à la formule {a).

!200. L'étude que nous venons de faire nous fournit la solution d'un problème intéressant, que l'on peut formuler comme il suit:

Existe-il un système de coordonnées curvilignes jouissant de cette propriété que le trièdre formé par les tangentes aux courbes coordonnées en un point quelconque M conserve son orientation quand ce point M décrit une courbe convenablement choisie ?

Pour qu'il en soit ainsi, il faut d'abord que le système soit à lif^nes conjuguées puisqu'il est parallèle à lui-même d'une infinité de manières.

Il faut ensuite qu'on puisse faire varier p, p, , pa, de telle manière (ju'on ait

d\i d\i dZi ^i ~ Y/ ~ Z, ■

En désignant par dki la valeur commune de ces rapports et remplaçant âfX; par son expression déduite des formules (28) et (.■)4), on arrivera à des relations telles que la suivante :

{%id^i—dki)\i^ (fi,./,.c?p/,— p;^.4,)X/,-f- (^,7«?,o/— '^'ud^i)Xi= o,

qui devra être vérifiée quand on y remplacera les X/ par les Y/ ou les Z/ et, par suite, entraînera les relations suivantes :

a/ dpi = dk,; [3,7, dp/, = ^'/,i dpi {i9^ k).

La seconde de ces relations entraîne évidemment les suivantes :

qui caractérisent notre hypothèse (a).

Et, en effet, la forme définitive sous laquelle nous avons mis nos résultats montre bien que les X/, Y/, Z/, demeurent invariables quand les coordonnées curvilignes varient en gardant constantes leurs différences.

m:s systèmes a lignes conjigukes. 377

Et, à ce propos, nous remarquerons que, si, parmi les solutions du système (58), on recherche celles seulement qui dépendent des dilî'érences p-o^, ^\-p>^ ce système (58) devient identique au système (5^) et admet la solution générale

( G() ) 11/= aX^--l- 6Y^-t- cZ},

c/, />, c désignant trois constantes. Cela conduit au système conjugué défini par les formules

i a? = (J CF„0

(70) < r = aBio-f- 6611-H c0

aBio-f- 6e]i-Hc0i

OÙ l'on aura posé

)oo = Ts X,- x;- doi, 00, = r^ X,- y;- dpi, 002 = f^ X/ z;. dpi, 7 , ) / e,o = Ti: Y,- x;. dp,: B, , = f^ Y,- y; dp,; 0,2 = /"s Y/ z;- <o,-,

»2o = Ts Z/ \; ^p/. e,, =- Tx Z/ Y- (/p,-, 022 = f^ Z/ z- dpi.

(^uand p, p,, p2 croissent d'une même quantité A', il en est de même des quantités Su. Les quantités Si/,, au contraire, demeurent invariables, de sorte que x,y, z croissent respectivement de a/x, bk, ck.

On conclut aisément de là que chacune des familles du système conjugué est engendrée par une surface qui demeure invariable de foiine et est animée d'une translation rectiligne dont les paramètres directeurs sont a, b, c.

Remarquons que si Ton échange les X/ et les X^. on a les formules

([ui engendrent un système supplémentaire du précédent.

Nous étudierons plus complètement les systèmes conjugués de cette nature, dans le cas spécial où ils deviennent orthogonaux.

^''Bio+c'

i-Hc'