LES SYSTÈMES TKIPLES ORTHOGONAUX

Après avoir envisagé les systèmes à lignes conjuguées les plus généraux, on considère plus particulièrement les systèmes triples orthogonaux, qui en sont le cas particulier le plus intéressant. II faut alors joindre aux quatre systèmes d'équations aux dérivées partielles, déjà obtenus pour les systèmes à lignes conjuguées, deux systèmes nouveaux. On rappelle d'ailleurs qu'on peut aussi envisager à un point de vue cinématique la théorie des systèmes tiiples orthogonaux, en liant leur étude à celle du mouvement d'un trièdre dont on connaît les rotations et les translations. Dans l'un et l'autre point de vue, la détermination des systèmes triples peut se ramener aux opérations suivantes: i" Intégration des neuf équations (A), (A') auxquelles satisfont les six rotations ^a-', 2" Intégration d'un système complet qui fait connaître l'orientation du trièdre (T) formé par les normales aux trois surfaces coordonnées; 3" Intégration simultanée des six équations (B') auxquelles satisfont les coefficients de l'élément linéaire H, H|, H2; 4" Détermination par des quadratures des expressions des coordonnées rectilignes en fonction de p, pi, p2.

Modification qu'on peut apporter à cette méthode par l'introduction des quantités P,-, distances de l'origine au plan tangent. Equations aux dérivées partielles auxquelles satisfont ces quantités P,.

Dans l'une ou l'autre de ces méthodes, le premier problème qui se présente, et le plus difficile, réside dans l'intégration des équations (A), (A') aux p,vi-. On démontre à ce sujet un théorème fondamental pour la suite. Si les fonctions (3,/. vérifient le système (A), il suffira, pour qu'elles vérifient les équations (A'), qu'elles vérifient chacune de ces trois équations n,- = o pour une valeur particulière donnée à la variable p,.

On a vu plus haut qu'un système à lignes conjuguées est pleinement défini si l'on donne une surface appartenant à chacune des trois familles coordonnées et le réseau conjugué tracé sur cette surface. On étend cette propriété aux systèmes triples orthogonaux en montrant qu'un tel système est pleinement défini en général si l'on connaît une des surfaces de chacune des trois familles. Un tel ensemble doit évidemment, d'après le théorème de Dupin, être composé de trois surfaces (Z), (Si), (Sj), se coupant mutuellement à angle droit et suivant une ligne de courbure commune. On montre d'abord comment on peut géométiiquement construire cet ensemble de trois surfaces, et quel est son degré de généralité. On fait la remarque essentielle que, si les trois surfaces sont données a priori par une construction géométrique quelconque, il n'y aura plus qu'à tracer sur chacune

LES SYSTÈMES TRIPLES ORTHOGONAUX. SjQ

dolies le réseau des lignes de courbure; mais si quelqu'une des surfaces se réduit à une sphère ou à un plan, il y aura une infinité de systèmes de courbes orthogonales, tracés sur cette surface, qui pourront jouer le rôle des lignes de courbure. On est ainsi conduit au théorème général suivant :

Il existe un système triple orthogonal, et un seul, assujetti à comprendre trois surfaces appartenant respectivement aux trois familles qui doivent composer le système, se coupant par suite mutuellement à angle droit et suivant une ligne de courbure commune. Ce ihcorème ne peut s'appliquer au cas où quelqu'une des surfaces se réduit à une sphère ou à un plan que si l'on a tracé arbitrairement et a priori, sur celte surface, le réseau orthogonal qui doit jouer le rôle des lignes de courbure.

Dans le cas, par exemple, où les trois surfaces données seraient les faces d'un trièdre trirectangle, il faudrait, pour rendre le problème déterminé, tracer arbitrairement, sur chaque face du trièdre, un système de courbes orthogonales comprenant les deux arêtes du trièdre situées dans cette face.

A raison des applications étendues que peut avoir cette proposition générale, soit en Physique mathématique, soit en Géométrie, on croit utile d'en donner une seconde démonstration, directe et reposant sur des considérations de cinématique.

120 J . Après avoir indiqué quelques propositions générales relatives aux systèmes à lignes conjuguées, nous allons considérer ceux de ces sAStèmes qui nous intéressent plus spécialement : les systèmes triples orthogonaux. Nous aurons alors à joindre aux systèmes (A), (B), (B'), (C) les deux suivants :

Oç>i Cp/,

Remarquons de plus qu'ici les H/ et les U/ n'ont plus l'indétermination que nous avons pu leur laisser dans le cas des systèmes conjugués les plus généraux. D'une manière précise, les U/ sont les cosinus-directeurs des normales aux trois surfaces coordonnées et les H/ sont les coefficients de l'élément linéaire de l'espace. Nous avons vu du reste que les H/ et les [3/^ sont ici liées de la manière la plus simple aux translations et aux rotations du trièdre (T)

38o LIVRE m. — CHAI' ITUE IV.

formé par les normales aux trois surfaces coordonnées, ces translations et ces rotations étant données par les tableaux suivants :

ri = o,

rj2 =: 0,

'•i=Poi,

i>2=Pn,

de sorte que les systèmes (A), (A'), (B') traduisent simplement les relations qui ont lieu, dans le cas général, entre les rotations et les translations (n"" 105 et lOG).

202. D'après cela, la détermination des systèmes triples orthogonaux pourrait se ramener aux opérations suivantes : i" On intégrerait d'abord les équations aux [^/a :

qui sont au nombre de neuf, et où /, Â", / sont différents;

2" Unç fois obtenues les valeurs des ^m^ les neuf cosinus qui définissent l'orientation du trièdre (T) par rapport à un trièdre fixe seraient obtenus par l'intégration simultanée des deux systèmes suivants :

ou, ce qui est la même chose, par l'intégration des trois équations simultanées de Riccali,

ovii

■:rz

ou,-

àOi

fi -r- t^20 •

LES SYSTEMES TRIPLES O H T II OGON A U X . 3Hl

qui se déduisent des formules ((3), données au n" 105, j>ar la substitution des valeurs (E'), rappelées plus haut pour les rotations.

Les équations (B) et (D) forment un système complet; il en est de même des équations {a).

3" Une fois obtenus les neuf cosinus, les expressions des H/ s'obtiendront par l'intégration simultanée des six équations

4" Enfin les expressions des coordonnées x,y^ z se détermineront à l'aide des quadratures comprises dans la formule unique

( C) du = HU dp ^- H, U, dpy + H, U. dp,,

ui donne aussi

Comparons ces opérations à celles que nous avons eilectuées dans le cas des systèuies généraux à lignes conjuguées. Nous voyons que, lorsqu'on aura déterminé les [3/^, l'oi'ientation du trièdre formé par les plans tangents aux surfaces coordonnées dépendra de l'intégration d'un système complet et ne comportera plus l'indétermination qu'elle avait dans le cas général, où elle dépendait de trois fonctions arbitraires d'une variable. Au contraire, dans les deux cas, la détermination des H/ exigera l'intégration du même système et comportera la même généralité.

1203. La méthode que nous venons de faire connaître peut être modifiée avantageusement dans l'étude de difîerentes questions. Introduisons les quantités P^- définies par les équations

(F) X/a- + Y,jK -H Zj.3 = P,-,

de sorte que P/ sera la distance de l'origine des coordonnées au plan tangent à la surface de paramètre p/. On verra facilement que les P/ satisfont aux équations

(jui sont à la fois nécessaires et suffisantes, et qui ne difièrent gue

382 LIVRE m. — CHAPITRE IV.

par la noLation du système (B). Toutes les fois donc que l'on saura intégrer ce système, pris isolément, on aura par cela même les P/; et les trois équations (F) nous àQnmàvowl sans quadrature les valeurs de x^y^ z. On aura, u désignant l'une quelconque des coordonnées rectilignes,

Ilcmarquons encore que, si l'on diflerentie l'équation (F) par rapport à p,-, on trouve

Cette formule élégante achève la solution du problème. Elle nous fera connaître la solution complète du système (B') quand on connaîtra celle du système (B).

20 i. D'après ces remarques préliminaires, on voit que, si l'on voulait aborder la détermination générale des systèmes triples orthogonaux, on aurait d'abord à intégrer les systèmes (A) et (A'), auxquels satisfont les six fonctions ^/a- Ce problème sera le premier qui se présentera dans la recherche; il sera aussi, en général, et de beaucoup, le plus difficile. Nous avons déjà donné quelques indications étendues sur l'intégration du système (A), pris isolément. Mais l'ensemble des systèmes (A), (A') n'est pas d'une forme à laquelle puissent s'appliquer nos théorèmes généraux du Chapitre I. Ces théorèmes nous permettent toutefois de démontrer la proposition suivante, dont nous aurons à faire usage dans la suite.

Posons

de telle manière que les trois équations du système (A) puissent s'écrire

Cela posé, si les fonctions ^//t satisfont aux équations (A) pour toutes, les valeurs de p, p,, pa et si, de plus, chacune des fonctions «/ est nulle pour une valeur particulière p^^ donnée à

LES SYSTÈMES TIUI'LKS ORTHOGONAUX. 383

0/, les trois équations du système {A') seront aussi véri/iées pour toutes les valeurs de p, p,, po.

Pour établii' cette proposition, ditTérentions ui par exemple, par rapport à p/. En tenant compte des équations (A), on trouvera identiquement

ÙUi , „

(•2) -— = 'pliUi-+- ?/Aiik.

Op/

Ainsi, les trois premiers membres u, m,, U2 vérifient les équations

ào

ioi"l-i- 3o2"2)

Ci) < J^ = Pl2i'2+ plO",

En\ isai^eons ces relations comme un système propre à déterminer u, «1, u-2- En vertu de notre théorème fondamental, nous voyons que u, u,, u^ seront toujours nulles si chacune des variables Ui est nulle pour une valeur déterminée p? , attribuée à la variable de même indice. C'est la proposition qu'il s'agissait (l'établir.

On pourrait déduire d'autres conséquences des identités (3), par exemple montrer que, sauf dans le cas où les représentations spbériques des ditTérentes surfaces du système sont des courbes isothermes, les trois équations (A') peuvent se réduire à une seule. Nous laisserons de côté tous ces détails, pour nous attacher aux ihéorèmes qui fixent le de^ré de généralité de la solution.

^Of). A cet effet, nous rappellerons la proposition démontrée plus haut, et d'après laquelle un système de coordonnées curvilignes à lignes conjuguées est pleinement défini, si l'on donne une surface appartenant à chacune des trois familles coordonnées et le réseau conjugué tracé sur cette surface (n" 191). Nous allons voir que cette proposition peut s'étendre aux systèmes triples (orthogonaux. Mais, dans ce cas il faut, évidemment, d'après le théorème de Dupin, que les trois surfaces données ainsi a priori se coupent mutuellement à angle droit, et suivant une ligne de

courbure commune. Voyons d'abord comment on pourra construire cet ensemble de trois surfaces.

A cet effet, nous prendrons arbitrairement dans l'espace trois courbes planes ou gauches (C), (C,), (Co), se coupant à angle droit en un point A. Si (C|) et (C2) doivent être les lignes de courbure d'une surface (S), il est facile de voir que les norjnales de (S) seront connues en tous les points de (G|) et de (C2). En ellet, on connaît la normale en A à la surface (S), qui est la tangente à la courbe (C). D'autre part, les normales à (S), en tous les points de (G,) [)ar exemple, doivent envelopper une des développées de (C|); et cette développée est définie sans ambiguité par la condition d'admettre comme tangente la normale en A à la surface (S). Le raisonnement se fera de même pour la courbe (C^).

Puisqu'on connaît les normales à (S) en tous les points de (C,) et de(C2), on pourra, en effectuant la représentation sphérique de (S) suivant la méthode de Gauss, tracer les images sphériques (G',), (G!,) de (G() et de (G2). Par suite, pour avoir la représentation spliérique des lignes de courbure de (S), il suffira de tracer, sur la sphère, un système double orthogonal, assujetti à l'unique condition de comprendre les courbes (G', ), (G!,). Gela se fera comme il suit : on tracera arbitrairementsur la sphère une famille de courbes (Fo) assujetties uniquement à couper (G,) à angle droit et à comprendre la courbe (G.,) qui réalise cette condition. Les trajectoires orthogonales de ces courbes formeront une famille nouvelle (F,), comprenant évidemment la courije (G,). L'ensemble des familles (F)) (F2) donnera la représentation sphérique des lignes de courbure de (2!); et nous savons, d'après un théorème précédemment établi (n" 185), qu'il existera une surface (S) et une seule, admettant cette représentation spliérique et passant parles deux courbes (G|), (Go). Gette surface (S) dé[)endra de la fonction arbitraire de deux variables qui entre dans la détermination de la famille (Fg).

En raisonnant de même sur les couples (G), (G2) et (G), (G,), on déterminera de même les surfaces (S,), (So) qui doivent être associées à (S). On peut dire que l'ensemble de ces trois surfaces dépendra de trois fonctions arbitraires de deux variables.