Dans le cas où ces trois surfaces seraient d

onnees par une

Li:S SVSTKMES TRIPI.KS ORTHOGONAUX. SS')

construction géométrique quelconque, il n'y aura plus qu'à tracer sur chacune d'elles le réseau des lignes de courbure, ce qui ne comporte, en général, aucune ambiguité. Toutefois, si une ou plusieurs des trois surfaces se réduisaient à une s|)hère ou à un |)lan, le tracé des lignes de courbure couiporterait une indétermination évidente. Si, par exemple, la surface (S) se réduit à une s|)hère ou à un plan, tout système orthogonal tracé sur (S), comme nous lavons indiqué plus haut, et comprenant les lignes (Ci ), (Co) pourrait jouer le rôle des lignes de courbure de (ï). Si les trois surfaces (S,) étaient des sphères ou des plans, l'indétermination pourrait comporter, on le voit, trois fonctions arbitraires de deux variables.

207. Après avoir indiqué comment on constituera l'ensemble des trois surfaces (S,), appliquons la proposition relative aux systèmes conjugués. Nous savons qu'il existera un tel système, et un seul, comprenant comme surfaces coordonnées les trois surfaces (S,) et comme lignes coordonnées les lignes de courbure de ces trois surfaces. Nous allons montrer que ce système conjugué sera orthogonal.

A cet effet, nous allons considérer les trois quantités

qui devront être nulles si le système est orthogonal. Or, si l'on tient compte des équations (B) (jui s'appliquent à tous les systèmes conjugués, on trouvera aisément les identités

Os'i

O) \ ^ =?/aG, + ^mG/,

= 'pi/ G/ -f- ^3//,. G/. ,

et, en se rappelant un théorème déjà plusieurs fois appliqué, on verra immédiatement que les quantités G/ seront nulles pour toutes les valeurs de p, p,, ç>.2 si chacune d'elles G/ est nulle pour une valeur [)arliculière de o/. Or, G/ est évidemment nulle pour la

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valeur de pi qui correspond à la surface (S/); puisque l'équalion

exprime alors l'orthogonalité des lignes de courbure de cette surface. La proposition que nous avions en vue est donc établie. Ainsi :

// existe un système triple orthogonal, et un seul, assujetti à comprendre trois surfaces appartenant respectivement aux trois familles qui composent le système^ surfaces qui, d'après le théorème de Dupin, doivent se couper mutuellement à angle droit et suivant une ligne de courbure commune.

Ce théorème ne peut s'appliquer au cas où quelqu'une des trois surf aces se réduit à une sphère ou à un plan, que si l'on a tracé arbitrairement sur cette surface te réseau orthogonal qui doit jouer le rôle des lignes de courbure.

Supposons, par exemple, que l'on prenne pour les surfaces (S<) les trois faces d'un trièdre trirectangle. Pour achever de déterminer le système triple qui comprend ces trois plans, il faudra, dans chacune des faces, tracer arbitrairement un système de courbes orthogonales comprenant dans chacune de ses familles une des deux arêtes du trièdre contenues dans cette face.

208. Le théorème que nous venons d'établir est susceptible d'applications étendues, soit en géométrie, soit en physique mathématique. Pour cette raison, nous allons en donner une seconde démonstration, indépendante de la théorie des systèmes conjugués.

Reprenons l'ensemble déjà constitué des trois surfaces (S/), Pour achever de définir le système triple cherché, nous conviendrons qu'on prendra, pour le paramètre p/ de chacune des familles qui le composent, l'abscisse curviligne comptée à partir du point commun A «îur la courbe (C/); de sorte que, si l'on voulait construire la surface de paramètre p,-, on connaîtrait déjà deux lignes de courbure de cette surface, à savoir les lignes de courbure des surfaces (Sa), (S/) qui coupent orthogonalement (C/) au point dont l'abscisse curviligne est précisément le paramètre p/.

Remarquons que les hypothèses que nous venons de faire sur