LES SYSTÈMES TRIPLES OHTIIOGOXAUX
le choix (Je ce paramètre reviennent à supposer que l'on a 11/ =1 pour p/c=p/=o.
Envisageons maintenant le trièdre (T) formé par les normales aux trois surfaces en A. On peut évidemment lui imprimer trois déplacemenls connus dépendant de deux variables : l'un dans lequel son sommet décrira la surface (S), les axes des y et des z demeurant tangents aux lignes de courbure de cette surface; les deux autres, tout pareils, dans lesquels le sommet décrirait de même la surface (S, ), ou la surface (So). Deux quelconques de ces <léplacements ont en commun un déplacement à une variable dans lequel le sommet du trièdre décrit une des courbes (C/). Etudions, par exemple, celui de ces déplacements dans lequel le point A décrit la surface (So), correspondante évidemment à l'hypothèse P2 = o.
D'après la ihéorie des surfaces rapportées à leurs lignes de courbure, les translations tj, ^,, et les rotations/?, ^, de ce mouvement seront constamment nulles. Quant aux autres translations ou rotations, elles pourront, si l'on choisit des notations convenables, être définies par le tableau suivant
Et si l'on écrit alors les équations différentielles qui relient les rotations et les translations, on sera conduit au système suivant
/•i = -Po.,
^ii=^,.H,.
qui sera vérifié sur la surface (So).
Si l'on ne veut pas faire appel à la théorie des lignes de courbure, on peut encore remarquer qu'en adjoignant à la surface (So) les surfaces parallèles, on constitue ainsi une famille d'un certain système triple orthogonal. Si l'on applique à ce système les for-
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mules (A), (A') et (B'), qui doivent être évidemment vérifiées, on retrouve en particulier, pour l'hypothèse po == o, c'est-à-dire siir la surface (Sa), les relations (7) (8) et (9).
Avant d'interpréter ces relations, écrivons-les sous une forme plus générale, en remplaçant les indices o, 1, 2 par i. A', / de telle manière qu'elles s'appliquent aux trois surfaces (S/). Nous pourrons dire alors qu'il est possible de trouver des fonctions !£/, H,; fi/A, [iyi/, ''pli 'pik de 0/ et o/; vérifiant les équations
pour p/= o et pour toutes les valeurs de p< et de pA suffisamment voisines de zéro. Géométriquement, ces fonctions sont les translations et les rotations qui conviennent au mouvement du Irièdre (T) lorsque le sommet de ce trièdre parcourt la surface (S/), deux de ses arêtes restant les tangentes principales de (S^).
209. Revenons maintenant aux écjuations générales qu'il s'agit d'intégrer, et d'abord aux systèmes (A), (A') qui déterminent les rotations. Intégrons le système (A) en prenant pour \aleurs initiales des Pik, pA/, correspondantes à l'hypothèse p/ = o, précisément les valeurs initiales des [jik, ,3/ft que nous avons trouvées sur la surface (S/). Nous aurons ainsi une solution unique et bien déterminée du système (A). Mais comme en vertu de l'équation (12) on aura
11/ = o pour pt= o,
il résultera du théorème démontré au n° 204 que les équations (A) seront aussi vérifiées pour toutes les valeurs de p, p,, Oo.
Une fois intégrées les équations (A), (A'), le reste du raisonnement ne présente plus aucune difficulté. Les équations (B') auront une solution générale, qui sera pleinement déterminée par la condition que H/ se réduise à i pour pA= p/= o, et les valeurs générales ainsi obtenues satisferont évidemment aux équations (10) pour p/ = o.
m; s SYSÏKMKS TRIPLES 0 KTHOUON A U X . 3SiJ
l'uis(|U(; nous connaîtrons maintenant les rotations et les translations «lu trièdre (T), le mouvement de ce trièdre sera entièrement défini et engendrera évidemment un système triple orthogonal. Comme, d'ailleurs, ce mouvement général comprendra les trois déplacements particuliers qui correspondent aux hypothèses p/=o ou p/f= o ou p/ = o, le système triple comprendra de même les trois surfaces (S/), (S^), C^i)-
Notre proposition est donc de nouveau entièrement démontrée.
