CHAPITRE V

LES THÉORÈMES DE CoMBESCL'RE ET DE RlBAU(

Dans le cas des systèmes triples orthogonaux, il y a confusion entre les systèmes parallèles et les systèmes supplémentaires, et l'on peut énoncer la proposition suivante, qui a été établie par Combescure en 1864 : l'étant donné un système triple quelconque, il en existe toujours une infinité d'autres qui lui sont parallèles et qui sont tels, par conséquent, que deux surfaces de même paramètre dans les deux systèmes se correspondent par plans tangents parallèles et ont même représentation sphérique de leurs lignes de courbure. Pour obtenir ces systèmes, on peut appliquer les méthodes qui, dans le cas des systèmes conjugués, conduisent, soit aux systèmes parallèles, soit aux systèmes supplémentaires. L'emploi de la seconde conduit à un procédé de récurrence qui est le moyen le plus puissant connu actuellement, pour la recherche des systèmes orthogonaux. Toutes les fois que l'on sait intégrer les trois équations

(j^e i ^ ^ I (JH/, d(i

dpidçj/,. H/ dp/^- dpi H/,- dp,- ôp/^^

relatives à un système triple, on peut déduire de ce système, par des opérations qui n'exigent que des quadratures, une suite illimitée de systèmes triples comprenant un nombre de plus en plus grand de fonctions arbitraires d'une variable.

l^es résultats précédents conduisent à se proposer le problème suivant : Etant donné un système triple, et plus généralement un système à lignes conjuguées, trouver toutes les droites émanées du point qui décrit le système et qui engendrent une développable lorsque ce point décrit une quelconque des courbes coordonnées. Les seules droites répondant à la question sont, en dehors des tangentes aux courbes coordonnées, les droites qui joignent le point décrivant au point correspondant d'un système parallèle.

Dans le cas des systèmes orthogonaux, on recherche si ces droites, qui portent une infinité de points décrivant des systèmes parallèles au proposé, en portent d'autres décrivant des systèmes orthogonaux correspondants aux précédents. On est ainsi conduit à un élégant théorème énoncé par Ribaucour en 1869 et qui permet d'utiliser d'une manière nouvelle toute solution 0 des équations (J): Si, du point M d'un système triple, on porte sur la normale à la surface du paramètre p,- une abscisse MA,-

THÉORÈMES UE COMBESCUKE ET DE RIBAUCOUH. Sgi

égale à r^- , F étant une solution des trois équations (J) et si, du

point A/ comme centre, on décrit une sphère tangente en M à la surface de paramètre p,, les trois sphères ainsi obtenues se coupent en un second point M' qui décrit précisément le nouveau système découvert par Ribaucour. Les trois sphères sont aussi tangentes en M' aux surfaces coordonnées de ce nouveau système triple.

Malgré son élégance, le théorème de Ribaucour ne donne rien de plus que la méthode de récurrence indiquée plus haut. On peut, du reste, le démontrer et le généraliser en employant des coordonnées pentasphériques, et l'on est ainsi conduit, pour la première fois, à employer en géométrie infinitésimale des systèmes d'équations de la forme (J) qui admettent sept solutions particulières liées par une relation quadrique homogène à coefficients constants. Application à un exemple particulier.

210. Nous avons vu que les systèmes de coordonnées curvilignes à lignes conjuguées possèdent cette propriété caractéristique d'admettre, soit des systèmes que nous avons appelés })arallèles, soit des systèmes supplémentaires. Dans le cas où le système à lignes conjuguées devient un système triple orthogonal, les systèmes parallèles se confondent avec les systèmes supplémentaires et l'on peut énoncer la proposition suivante qui a été établie par E. Combescure en 1864 (')•

Étant donné un système triple orthogonal quelconque, il en existe toujours une infinité dUiutres^ tels qu'aux points correspondants^ c est-à-dire aux points de mêmes coordonnées curvilignes dans les deux systèmes^ les plans tangents aux surfaces coordonnées de même nom soient parallèles ; de sorte que deux surfaces de même paramètre dans les deux systèmes se correspondent par plans tangents parallèles et ont même représentation sphérique de leurs lignes de courbure.

A raison de cette dernière propriété, nous dirons que les deux systèmes ont même représentation sphérique.

(') Fo//- le Mémoire Sur les déterminants fonctionnels et les coordonnées curvilignes présenté en 1864 par Combescure à l'Académie des Sciences et inséré en 18(17 au Tome IV (i' série) des Annales de l'Ecole Normale supérieure.

Sga LIVRE III. — CIIAPITIIK V.

211. Pour trouver les systèmes admettant même représentation sphérique qu'un système donne, on peut les considérer, par exemple, comme parallèles au système proposé, et appliquer alors les méthodes indiquées au n" 189. On obtient tous les systèmes de même représentation sphérique en conservant les mêmes valeurs des fjHf et des cosinus-directeurs U/, mais en j)renant pour les H/ des solutions différentes soit du système

soit du système

{^) -T- = pilule-

La forme linéaire de l'un ou de l'autre de ces systèmes montre que lorsqu'on aura obtenu des solutions particulières du j)roblème, on pourra les combiner linéairement et obtenir ainsi des solutions plus générales. On sera ainsi conduit, par exemple, à la proposition suivante, que l'on pourrait établir par la géométrie et sur laquelle nous aurons à revenir :

Lorsqiîon a deux systèmes triples (S), (S') de même représentation sphérique^ on en obtient une infinité d^ autres de même représentation sphérique^ soit en divisant dans un rapport, quelconque mais fixe, la droite qui joint les points correspondants M, M' des deux systèmes, soit en menant par un point de V espace une droite parallèle et égale à MM'.

212. On peut aussi obtenir les systèmes de même représentation sphérique qu'un système triple donné, en appliquant les méthodes qui nous ont conduits aux systèmes supplémentaires du système proposé.

Nous avons vu que, si Ton écrit les trois équations

i . d^ u I ôHi On r àU/,- du

juixquelles satisfont les coordonnées x, y, z, considérées comme fonctions de p, p,, p^, les équations qui définissent le système

THÉORÈMES DE COMHESCURE ET DE RIBAUCOUR. Sq 3

supplémentaire sont les suivanles :

, <)x , ôy , ôz ()0

x', y, z' étant les coordonnées d'un point du système clierclié et 6 la solution généi'ale du système (J).

Nous avons déjà vu plus haut (n° 184) quel est le degré de généralité de la solution la plus étendue commune aux trois équations (J); et nous avons reconnu (n" 190) que si l'on prend trois, courbes coordonnées du premier système (C), (C,), (G2), se coupant en un point A, on peut toujours leur faire correspondre, dans le système parallèle, trois courbes quelconques (F), (F, ), (Ta), se coupant également en un même point, pourvu, bien entendu, <jue la courbe (F,) ait ses tangentes parallèles à celles de (C/).

213. Puisque le système proposé est parallèle à lui-même, il faut que les équations (i) puissent être vériiiées lorsqu'on y remplacera x', y, z' par X, y, z, c'est-à-dire que les équations (J) admettent la solution

Nous avons signalé depuis longtemps cette propriété, qui caractérise les équations (J) relatives aux systèmes triples orthogonaux (voir par exemple Leçons sur la théorie générale des surfaces, n"^ \A1 et suiv., n" lo4), et nous en avons déduit une méthode de récurrence qui est le plus puissant moyen de recherche des systèmes triples orthogonaux (même Ouvrage, n"^ 10o7 et suiv.) et que, pour cette raison, nous allons rappeler brièvement. Elle repose sur les deux remarques suivanles :

Etant donné un système triple (S), prenons une solution 0 des équations (J) et déduisons-en un système triple nouveau (S') à l'aide des équations (i). 11 est évident a priori que, si l'on sait intégrer de la manière la plus générale les équations (J) relatives au système (S), on saura intégrer les mêmes équations relatives au système (S'). Car tout système parallèle à (S') est évidemment parallèle à (S). Et, en effet, on trouve par un calcul que nous ne reproduisons pas [Leçons sur la théorie des surfaces, n" 1057) que, si ù est la solution la plus générale des é((uations (J), la solu-

394 LIVHK III. — CHAIMTRK V.

lion la plus générale Q' des mêmes équations relatives au système triple (S') sera donnée par la quadrature

La seconde remarque sur laquelle repose la méthode est la suivante :

Si l'on sait intégrer les équations (J) relatives à un système triple (S), on sait aussi intégrer les mêmes équations relatives au système (S,) qui s'en déduit par une inversion.

Supposons, en elîet, qu'on ait pris pour origine le pôle de l'inversion. On passera de (S) à (S,) par les formules

Effectuons maintenant, dans les équations (J), la substitution définie par la formule

Les équations en «j seront de la forme

ô-Ui dui àui ,

àpi dp,, àpi dp/,

mais comme les équations (J) admettent la solution

u = X- -HJ'" -H z^,

il faudra que les équations en w, admettent la solution u = A-, ce qui entraîne la condition

et réduit les équations en «, à la forme plus simple

dpi dp,, ■ dp, ■ dp,.

Si l'on remplace enfin u^ soit par .a;, soit par j)^ ou 3, dans la relation (4), on voit que les équations précédentes admettront les solutions particulières j:,, j),, 5,. Ce seront donc les équations

TIIKORKMES DE CO.MBESCLRE ET 1> K KIBAUCOUU. 395

(J) relatives au système (S,); et il résulte également de la formule (4) que l'on aura sans calcul leur solution générale 0, par la formule

où 0 sera la solution générale des équations (J) relatives au système (S).

D'après cela, supposons qu'on ait la solution générale des équations (J) relatives à un système triple donné (S). On passera de

(5) à l'un quelconque des systèmes parallèles (S') et l'on pourra intégrer les équations (J) relatives à (S') par une simple quadrature. On passera ensuite de (S') au système inverse (S,); et l'on pouri^a répéter indéfiniment, en introduisant des fonctions arbitraires en nombre de plus en plus considérable, les deux opérations que nous venons d'indiquer. On formera ainsi une suite illimitée de systèmes triples tels que chacun d'eux soit, alternativement, parallèle à celui qui le précède, ou bien s'en déduise par inversion.

214. Si l'on considère deux systèmes triples, ou plus généralement deux systèmes de coordonnées curvilignes à lignes conjuguées, parallèles l'un à l'autre, la droite qui joint les deux points correspondants M, M' de ces deux systèmes engendre évidemment une surface développable lorsque l'un de ces points décrit une quelconque des courbes coordonnées, car alors l'autre point décrit aussi une autre courbe coordonnée dont les tangentes sont parallèles à celles de la première.

Cherclions, d'une manière générale, toutes les droites émanées du point qui engendre un système à lignes conjuguées donné et qui jouissent de la propriété précédente, c'est-à-dire qui engendrent une développable quand le point décrit une quelconque des courbes coordonnées. Si a?, y, z désignent les coordonnées du point qui décrit le système et x\ y', z' celles d'un point quelconque de la droite, cette propriété se traduira pai' des équations telles que la suivante :

(6) —=l,.(or—x)^{i^li,) — ,

SgC LIVRE III. — CIIAITIIIK V.

OÙ il faudra remplacer successivement x' et x parj^' et y, puis par z' et î, et donner à l'indice / les valeurs o, 1,2.

Exprimons que les trois équations ainsi obtenues sont compatibles et, pour cela, égalons les deux valeurs difterentes que l'on peut

obtenir pour - — -— • On trouvera ainsi, par un calcul facile, la condition

\Opk Opi) ' rjpi \ûp/, ' Hi dpk)

(Jx / àix/c , a/,. — u/ dll/,\

Celte relation, devant être vérifiée (juand on y remplace les x par les y ou les z-, devra, par cela même, se réduire à une identité. Car, sans cela, elle exprimerait que la droite chercbée est tangente à une des surfaces coordonnées, ce qui conduirait à la solution banale donnée par les tangentes à une des courbes coordonnées, lui écartant cette hypothèse, on est conduit aux conditions

, , ()l,- àl/, ()n,- [JL,- u/, dU,

D'après la première, on peut poser

<«) --il!'

et alors, si Ton introduit la quantité H^ par l'équalion

(9) on,|..,= n:..

la seconde des équations (-) prend la forme (,o, f = Hi3..

(pliant à l'équation fondamentale (6), elle de\iendra

Si donc on considère le système |3arallèle au proposé pour lequel on a

d(x" — X ) H/ âx

TUKORÈMES DK COMBESCURE ET DE RIIIAUCOUR. 897

on voit qu'on pourra écrire

En d'autres termes, les droites cherchées seront celles qui joignent le point du système au point correspondant d'un système parallèle.

Ainsi les seules droites^ émanées du point M décrivant le système triple à lignes conjuguées^ qui jouissent de la propriété d'engendrer des développables cjuand ce pointM parcouit une des courbes coordonnées sont, en dehors des tangentes à ces courbes, celles qui joignent le point M au point correspondant M' d'un système parallèle.

2I0. Revenons maintenant au cas particulier des systèmes triples orthogonaux, et cherchons si ces droiles MM', qui portent une infinité de points décrivant des systèmes triples parallèles au proposé, en portent d'autres, décrivant des systèmes triples orthogonaux en même temps que le point M. En d'autres termes, cherchons si l'on peut disposer des arbitraires contenus dans les formules (6) de manière à vérifier les conditions d'orthogonalité

, , n dx' ùx'

En faisant la substitution on trouve

l^osons

Les équations précédentes peuvent évidemment être remplacées par le système plus simple

(16) ?>(x'—xY-^x^éi?>{x'~x)'^ =0.

Différentions cette équation par rapport à oa. H viendra, en

SgS LIVKK lit. — CHAPITRE V.

tenant compte des équations (.)) et des équations (()),

dvi - v/ ^;h,\ ùx

H v/ À/,- -i- — Six — x) = o .

Les équations (lO) permettent d'éliminer les x' et nous conduisent à la condition

v/, (hi v/ dWi,. v/, fyll,-

Changeant ^ en k et retranchant de la précédente l'équation ainsi obtenue, on trouve

I dv/ 1 d^k ce qui permet de poser

et alors l'équation (i^) nous donne

d^¥ I d\ii d? I c)H/, dF

àpiOo/c \li ()p/,: ôoi H/,. (>p,- typ/,-

On verra facilement, et nous démontrerons plus loin, que les conditions ainsi obtenues sont suffisantes, et que le système défini par les trois équations

or iTji

est un système triple orthogonal. D'une manière plus précise, toutes les fois que F est une solution des trois équations du système (J), les trois équations (20) représentent trois sphères qui se coupent d'abord au point M du système triple, et ensuite en un autre point M' qui décrit un système triple correspondant au premier.

216. Cet élégant théorème est dû à Ribaucour qui l'a communiqué à la Société philomathique dans la séance du 26 juin i86q

THKORÈMES I» E COMBESCbltK ET DE RI BAL' COU 11. Sgg

(voir Bulle/ in de la Société philomathique de Paris pour 1869, p. 26).

Nous allons le démontrer et l'interpréter j^ar une méthode qui nous donnera des propriétés géométriques intéressantes. Remarquons d'abord que, si l'on pose

et si l'on traite les coordonnées courantes x\ y' , z' comme des constantes, les trois équations (20) prennent la forme condensée

Or, les équations (J)

d-n r dH; ^ I dWu ^0

(^p,f>p/, \\i d'pk àpi H/, âpi àp/,~^

admettent les six solutions

(23) I, X, y, z, x^-\-y--+- z'^, F. De là résulte que, si l'on y fait la substitution

0 = crF, les équations en o* admettront les solutions particulières

Elles seront donc de la forme

-+- aik -x 1- a/a —— = o ;

et il, qui est une combinaison linéaire des solutions particulières (24), sera aussi une solution de ces équations en 7. On aura donc

, ., 'PQ dÙ dQ

àpi dpif dpi dpi;

De là résulte que, si l'on considère les trois équations (22) et si l'on prend l'enveloppe de la sphère représentée par l'une

4oO MVRE III. — CHAPITRE V.

d'elles

lorsqu'on fait varier ^/ç et p/, ce qui donne les équations

()''-Q ô'Hi

dpi (Jp/,- ~~ ' lipiào/ '

on pourra, d'après l'identité (ao), remplacer ces deux équations par les suivantes

âQ t)l>

o*p/,- àpi

qui sont les deux autres équations du système (22). En d'autres ternies, si l'on prend l'enveloppe de la sphère (S/) représentée par l'équation (2^), lorsque p^ et p^ varient, la splière touche son enveloppe aux deux points d'intersection des trois sphères (S/),

En écrivant les équations de ces sphères sous la forme (20), on reconnaît immédiatement qu'elles sont deux à deux orthogonales. Par conséquent, les trois familles d'enveloppes des sphères (S/) forment deux systèmes orthogonaux, qui sont décrits par l'un des points communs aux trois sphères. L'un est le système proposé; l'autre est le système nouveau obtenu par Ribaucour. Les trois sphères (S/) sont tangentes en chaque point aux surfaces coordonnées.

217. En interprétant géométriquement les équations (20), on est conduit à l'énoncé suivant :

Étant donné un système triple quelconque^ portons sur la

normale en M à la surface de paramètre pi une abscisse M A^

égale à