III. — Intégrales de variables complexes

220. Soit f{z) = P 4- fQ une fonction holomorphe de z dans un domaine D. Considérons un arc de courbe F^ allant de A à B, et ayant en chacj[ue point une tangente {fi;j;. >8) ; marquons sur cet arc,

Mais -^ n est autre que -^- Donc, au voisinage de tout point ^o te' que -— 52= o. on peut considérer z comme lonction déterminée et

l4 CHAI'ITKK IV. — FONCTIONS ANALYTIQUES.

en allant par exenij)lc de A à B. des points intermédiaires correspondant aux valeurs z^, :■,. ..., z/, z„ de ;, z^ correspondant au

point A, z„ au point B.

Vis. i8.

Posons z/i^=x/i^ LVh. l-*renons sur Tare [zh^K.z-f,) un point arbitraire "Çh el soit 'Cj, = Ça 4- /y,/,. Formons la somme

OU, en mettant en évidence les parties réelle et imaginaire,

-^- f'^ [ Q (i/o ■0/<M\r/.— .r /,,) + P{UjJi){yh — yh-'i)\-

Si l'on suppose que la loi de partage de lare AB varie de façon que la plus grande dislance des points ^a-i, ^h tende vers zéro, cette somme tend, d'après la théorie des intégrales curvilignes, vers une limite déterminée qui est

/ V dx — Q dy -i- i i () dx^-F dy.

Cette expression est ce que Ton obtiendrait si. dans l'intégrale I /{z)dz, on remplaçait / par P -f- /Q, c/z par dx^idy. On convient de la représenter par

ff(z)dz ou ff{z)dz,

et Ton dit que c'est l'inlésrcde de la fonction de variable complexe f{z) pî'ise le long de l'arc AB.