dx -i- i dy ) -^ . . .= O
\ Ox Ox /
OU
( 3 ) -— ( dx -+- i dy ) -f- -— • ( dr ~ i dv ^ -^ . . . = o.
Oz -^ Oz
Supposons que les xariables indépendantes z\ z", ... reçoivent des valeurs fixes, sauf c'. L'équation (3 ) montre que. dans ces <ondi-
tions. -7^-; —Y—, a une limite déterminée quand dx' A- i dy' tend vers
dx — i dy T ^
zéro. Donc ; a par rapport à r une dérivée donnée par la formule
oF
Oz Oz'
oz
C'est la même règle que pour les variables réelles. Ainsi z est fonction lioloniorphc de z' , z"
1:217. Supposons maintenant <pi"on ait /i écpialions de la forme
1 Fi ( z. z', . . ., u, a . u". . . . ) = o, (U ' •••
f Pn{^, -s', . - ., «, u', II", . . .j = O,
12 CHAriTHIi IV. — l'ONCTlOXS ANALYTIQUES.
les variables u étant au nombre de n et les F étant fonctions holomorphes des variables complexes z eX u dans certains domaines. Soit Zq^ ^„, ..., Uq^ n'^, ... un système de valeurs des variables vérifiant ces équations. Suj)posons que le déterminant fonctionnel des F par rapport aux u soit différent de zéro |)our ce point, soit
Je dis que l'on peut trouver pour a. u', u", ... un système de fonctions holomorphes de z, z', z\ ... au Noisinage du point {zo,:^^,^'^, ...), satisfaisant aux équations (i) et se réduisant pour Zq, z'^^j ^j,, ... à Mo> "o7 i^o' • • •■ ^^^ théorème est démontré pour n = i . Admettons-le pour n — I et démontrons-le pour /i.
D'après (2), l'un au moins des mineurs d'ordre (/i — i) du déterminant fonctionnel des F par rapport aux a est diftérent de zéro pour le point considéré. On peut supposer que c'est
On peut résoudre les (/? — i) premières équations (i) par rapport à «', m", ... et exprimer ces (n — 1) variables par des fonctions holomorphes de z, z', z", ... et n. Soient par exemple
Portons ces expressions de u', a", . . . dans la fonction F„, et soit ^(Zj z' . . . .. u) la fonction obtenue. <I> est fonction holomorphe et l'on a (cf. t. I, p. 106)
d^ ^ D(F,.F.,, ....¥„) . DrFi,F2 F„, ) ^
du D( u, u', u", . . .) ' D(u\u'\...)
Donc, pour le point (cq, :■„■< ■ ■ -, ifo^ u'o, ■•■)■, on a
â<i> ou
On peut donc résoudre l'équation
par rapport à u. c'est-à-dire trouver pour u une fonction holomorphe de 5, z', z", ... au voisinage du point (:;,j, z^, z"q, ...), satisfaisant à l'équation (4) et se réduisant à Uq quand z, z', z" ., ... se
m. — INTKiiRAI.KS I)i: \ AUlAItl.KS CO.MI'I.KX KS. 1 3
rcdiiisciil à c„, :?„, r I'>ii iciii|>l;i(;;iiil n |);ir (('llo (oiuIidu djins
les cqualioiis ( .> ». ou oldicnl |hiim- //. //, //". ... des fonclioii^ lioloiiior|)lics de r. z\ z" . ... vénliaiil les <''(|iialions (' i ).
On voit cjiie le svslème (i) est résolu par rapport aux ii, la proposition avant le rnt-ine sens que pour les fonetions de variables réelles, en remplaçant la condition pour une fonction d'être continue et pourvue de dérivées |)ar la condilion d (Hre holomorphe dans un certain domaine.
218. Fonctions imcrses. — Kn j)articulier. soit une ("onction holomorphe de z
Considérons cette relation comme une équation en ;; pour la résoudre par rapport à c, posons F(;) = /'(::) — tt \ il sagil de résoudre 1 équation
On pourra le faire au voisinage de tout point ^n, pour lequel — yé o.
ô¥ . , of
Uz
dzo holomorphe de u. On dit que c'est la fonction inverse de f\ soit
x; = » ( if ) celte fonction. On constate, en dérivant par rapport à ;, que 1 on a
219. ]3e même que pour les variables réelles, on peut définir les fonctions dépendantes et indépendantes de variables complexes, et Ion peut établir pour ces fonctions les résultats obtenus pour les fonctions dépendantes et indépendantes de variables réelles (c/'. t. I, p. I o8-i I 2).
