Remarques. — i" On reconnaît, d'après cette définition

iNTi;(.nAi.i;s m: v\ui\iti.is compi.kmcs.

que, SI C l'St un |)()iiit de I ;irc AI), on a

j J\z) <lz -. I f{z) dz ~ I fi z)dz. ' Al! ''\r. • cii

Si nue courbe esl ioiinéc! pai" la rt'union honl à Ijonl (J'arcs remplissant les eondilions requises, Ja courbe elle-nièino ne les remplissant pas. rinl(''i;iale de /'(:;) esl, par définition, la somme des intégrales prises le lonj; des arcs j)arliels.

2" Si l'on change le sens de parcours sur l'arc \B, on a

I f(z)dz^— I fyz)dz.

3" Si L est un contour yc/v/if'^ j f[Z](lz est indépendante du

point de dc'part, mais ilépend du sens <Ju |)arcours, el esl multipliée par — I si ce sens est changé.

4" Si M est la borne supérieure du module de f{z) sur Varc AB, on a

I ff{^)dz

^ M . longueur I^.

En effet, remarquons que la distance des deux points Zh-\> '•/, est égale au module de la différence z-/, — z/i i. On a donc

|/(^^)(3/, — -/,-i) I^M. (Iislance2/,,c/, IM. arc^/,iS/,.

En donnant à h les valeurs successives i, 2, ..., «, et en ajoutant membre à membre les inégalités obtenues, on trouve

La somme (i) étant au plus égale en module à M. arcL, sa limite,

qui est 1 intégrale / /(z)dz, satisfait à la même condition. » L 5" Supposons l'arc L défini j)ar des équations de la forme

t étant un paramétre réel. Pour calculer i f<^z)dz ou encore

/ P dx — Q dv -f- ' / Q dx + P <^r, on doit, dans chaque intégrale •■I. " '\.

curviligne, exprimer P el O en fonction de t et remplacer dx par

l6 CIIAPIÏIŒ IV. — FONCTIONS ANALYTIQUES.

'z>'[L)dt, dy par <l'it)dt. Cela revieni à reinj)lacer, dans / J(z)dz,

z par '^ -i- i'b et dz par (:p'4- /-V) c/^, puis à eU'ecluer les calculs et séparer ensuite la partie réelle et le coeflicient de /.

'22!2. Fonctions primilwes. — Soil un clianip G dans lequel f{z) est holomorphe. Les expressions

V dx — () dy, qdx-^V dy

sont des difierentielles exactes (t. 1. |). i38), en vertu des conditions

<)V ôÇ) <)q ')V

Oy ôx (ly ôx

11 existe donc des fonctions I*,(.r.j>^), Q((^,JK) telles qu'on a, dans G.

Ox dy ^ Ox dy '

D'après ces relations, P, + /Qi est une fonction holomorphe de z dans G, soit F(;), et Ton a

^ ' Ox Ox ^ J\ )

Dautre part, d'après la théorie des intégrales cur\ilignes (t. 1, p. 225), on a, en supposant l'arc VB contenu dans G, les jKjints A et B étant :;„ = x^-^ iy„, z = x -h iv,

Ç \> dx — Qdy= P, (x,j')-P,(j-o,jKo),