IV. — i>KVi:i.oi>i'i':i:8 et niivKi.opi'ANTES. 5.o

■Ces ck'ux droiles sont rc(Ianj;ulniiTs, car on a, (J'a[)rès (i),

dcc dx ()y <)y

411. Déi'eloppées c/es courbes gaucJies. — Etant donnée une <:ourbe gauche C, clierchons s'il est possible de trouver une droite variable la rencontrant en un point M, normale à C en M, et en même temps tangente à une autre courbe, qui sera dite une développée de C.

Si cela a lieu, soient a\ y, z les coordonnées (rectangulaires) de M ; soit 1 le point de contact de la droite avec son enveloppe, soient a €t b les valeurs algébriques des projections de MI sur la normale principale et la binorniale; les coordonnées X(, j',, Zf de 1 sont, d'après cela.

Pour (jue Ml satisfasse aux conditions du problème, il faut et il suffît que le déplacement du point x,,jKi, c, ait lieu tangentiellement à MI. Or, les cosinus directeurs de Ml sont proportionnels à X( — x, JK) — JKj 5) — z. On doit donc avoir

xi — x vi — y Zi—Z

Soit A la valeur commune de ces trois rapports. On en déduit trois relations telles que

(fxi = À (c/ai-i- Occo).

D ailleurs, on a

dxi = dx -+- a dyii-i- b dr-y -t- ^i c/a -t- ^2 <^lb^

<i'où la relation

dx -^ a doLi -+- b d'x-i-^ ai da -i- i^db — ).(«a, -!- bt'i) = o.

Remplaçons dx par a.ds, t/a,, da..^ par leurs valeurs tirées dos formules de Frenet, il vient

OL ds -\- a ds(— Y.—^) -+- b ds-^ -^ ■Xida -^ 'x.^db — \( a'J.\-\- b%2) == o\

C est une relation de la forme

Aa-(- Bai-+-Gx2=o.

On obtient de même les deux antres relations

Av-T- Hyi-+-C-',=^ o.

Nous avons ainsi trois cqualions lin«îaires et homogènes en A, B,C.

Le déterminant formé avec les coefficients de ces quantités étant

différent de zéro, il faut, ponr que ces trois équations soient vérifiées,

que Ton ait

A = li = C = o,

et d'ailleurs ces conditions suffisent. Elles s'écrivent

La première relation montre que I on a d = R, donc le point I est sur la droite polaire; la développée, si elle existe, est sur la surface polaire. Eliminons A entre les deux autres relations, il vient

ds i^h".^ \\ï)^ -^bdR — Rdb = o,

d'où

ds ï\db — bdR T ~ Z>2 -f- R2

Soit 'j l'angle de MI avec la normale principale, on 35= ^^^§'i>i

, ds

— \a -T- da

ds -a-

— Ib-h db

et il en résulte

Rdb — bdW ^ ds

Cette relation 7^ = d'^ détermine la différentielle de cp. On voit que le problème proposé est possible et comporte une infinité de solutions. En effet, langle es est donné par la formule

r '" ds

il dépend donc d'une quantité arbitraire o^ qui est la valeur initiale de z>. Une fois cette valeur initiale fixée, cp et, par suite, le mouvement de MI sont déterminés.

Une courbe gauche a donc une infinité de développées. Deux