IV. — DKVKLOPPKKS KT ItK VKI.OI'P VNTKS. M

quelconques de ces (lc\el<)|)[)('es sont telles que deux uornudes nu niènie point AI correspondîinl ;'i ces deux (lé\elop|)écs se coupent sous un ;ini;le <|ui leste constant lors(|uc M varie. jL'accroissemcnt de '^ est, en eflet. le juruie pour- joutes les développées,

Ul2. Considérons l'arc de la d('\ elopp«'e : on a r/s^l z= rl.T\ -4- fly] -^ rfz\ , ou. en reinf>lacanl r/.r, par "),( ny., -^ hy..^). etc.,

Or, nous avons les équations

h -r-- -^- da — "> a — o. — n ~ -h dh — Ih = o:

on en déduit

o da ^ h dh — ). ( n"- ■- fA) = o.

a dn -^ h dh

Portons cette valeur de ). dans l'expression de r/.ç'^. il \ient

( n dn -u /; dh ) -

Or. on a

n dn -^ h dh ,/ . — — , , .,,„

— , = d{ v/a2 -+-h'^) = d( MI ),

yjn^--^h^

d'où, finalement.

Cela montre que, si pour un certain arc l'accroissement de Ml est toujours de même sens, 5, croît de la quantité dont augmente ou diminue MI. C'est un résulat analogue à celui que nous a\ons obtenu pour les courbes planes.

•413. Développantes. — Cherchons à porter, sur la tangente en M à une courbe gauche, un segment de longueur variable /, dont Textrf'mité P décrive une courbe normale aux tangentes de la combe donnée. Soient a:, t, z les coordonnées du point M qui décrit la courbe donnée; les coordonnées .r, , y,, r, du point P sont

.rj — X ^ It., V\= V ^ l'i. C| = - -i- /y-

2o6 CHAPITRE VI. — APPLICATIONS GKOMKTUIOI'ES.

Pour que le lieu de ce point soit une courbe normale à la droite MP^ il faut et il suffit que l'on ait la relation

dzx — o,

qui. en tenant compte de

dxx = dx -\- l dt -\- -x dl, ds -f- «^/ = o.

devient

c étant une constante et s étant l'arc de la courbe donnée compté » partir d'une origine quelconque.