IV. - iii;vi:i,()i'i'i;i;s et dkvim.oi'I'vniks. -aoi
la première. D'après ce qui précède, l'accroisseincnl de lonj;iieiir de la normale {Jig. 34) (en enlendanl par longueur de la normale la distance du point dlncidence M au point limite A) doit être égal à l'accroissement de l'arc de la courbe donnée.
Soient \y •/\ les coordonnées du point V fjiii décrll la courbe donnée, T Tare de celle courbe complé à partir d une certaine origine. IjCs cosinus direeliMirs de la direction positive de la tangente sont
Portons sur cette direction, à partir du point (^, y;), un segment AM ayant pour valeur algébrique / — t, Z étant une constante arbitraire. Je dis que le point M (.c, v) ainai obtenu décrit une courbe normale à la tangente en A.
En efl'et, nous avons
d'où, en dillerentianl.
cLt — d\ — %d's ^{l — 7 )<-/'/ = (/ — T ) dx,
de même
dy = {l — z)d^.
Pour vérifier que le lieu de M est normal à \M, il suffît de vérifier
a dx -I- ^S dy = o.
Or, on a
OL dx ^ i dy = ( l — rr) (tl dx -h 'i dZ ) ~ o.
On obtient ainsi comme lieu de M une développante de la courbe donnée; elle dépend d'un paramètre arbitraire l. Une courbe a doncune infinité de développantes, deux quelconques d'entre elles étant des courbes parallèles. On dit que la famille de développantes coupe à angle droit toutes les tangentes à la courbe donnée, ou encore que chaque développante est une trajectoire orthogonale de ces tangentes.
4lU. Trajectoires ortliogonales. — D'une manière générale, étant donnée une famille de courbes dépendant d'un paramètre, on peut trouver une seconde famille de courbes telle que deux courbes quelconques, prises l'une dans la première famille, l'autre dans la seconde, soient orthogonales en l'un de leurs points d'inlerseelion.
202 CHAPITKE VI. — APPLICATIONS GEOMETRIQUES.
Soit
fiT,y,a) = 0
l'équalinn de ]a ftimille de courbes donnée. Formons l'équation différentielle de ces courbes, soit
En un point commun à deux courbes des deux familles, les tangentes ^ ces deux courbes doivent être rectangulaires. Donc le coefficient
angulaire de la tangente à la seconde est ;• On en déduit que la
seconde famille, si elle existe, a pour é(juation diflérentielle
Fi . .
En intégrant cette équation, on aura l'équation d'une fiimille de courbes orthogonales aux courbes données.
On peut rattacher à cette théorie certaines propriétés des fonctions harmoniques. On sait que, étant donnée une fonction /(s) d'une ■variable complexe z^ x -+- iy^ elle se met sous la forme
/= P(a7,^)-+-«Q(x,jK), P et Q étant des fonctions harmoniques; on a
Ox ôy ' Oy dx
On déduit de là que les deux familles de courbes ayant pour équaions
■a e\. b étant des paramètres arbitraires, sont orthogonales. En effet,
soit [x, y) un point du plan; considérons les deux courbes qui
passent par ce point. Les coefficients de la tangente à la première
sont
dx ôy'
ceux de la tangente à la seconde sont
dx dy
