V. — ktidf: de oi'i:i.OI ks couniiKS

En menant par O la parallèle à CM, on voit que

(0/,CM)=-9, d'où

(Or,CVI) = (0.r, oy ) -4- (O7', CM j = - ^ - o.

Les coordonnées de M sont donc

a" = R '^ -f- R co? (— - — oj = RCï— sin-j), ^=R -f-Rsin|— -^ — oj = R(i— cos'f).

Quand '^ augmente de 2-, y reprend la même valeur et x augmente de 2-R. Il suffit de construire la partie de la courbe correspondant à l'intervalle (O, 27:); la courbe tout entière se compose d'une infinité de portions semblables, se déduisant l'une de l'autre par une translation parallèle à la base et égale à 2- H. Calculons les dérivées premières et secondes de x^y :

a:' = R(i — COS9), ^'=Rsin9, ar"=R«ino, y=Rcostp.

On voit que la courbe part de O langentiellement h O)', car pour ç» = o le coefficient angulaire de la tangente '^, qui est égal à cot *^ est infini.

Pour 'i r= 7:, la tangente est parallèle à Ox, / passe par un maximum égal à 2R. La droite o: = -R, qui passe par ce point, est un axe de svmétrie pour la branche de courbe que nous construisons, car, si Ton donne à o deux valeurs équidistantes de ?:, y prend la même valeur, x prend deux valeurs équidistantes de ttR.

Calculons la longueur de lare ; on a

s'2= 4R2^in2?,

1, , . cp . . „

a ou, comme sin-|- est positif,

5' = 2 R sin - •

La longueur de la brandie étudiée est

s=f 2Rsin^ =4R( — cos? )'"=: 8R.

Cherchons quelle est la normale au point M.

2o8 CHAPITRK Vl. — APPLICATIONS GÉOMKÏHIQLES.

La tangente a pour coefficient angulaire cot-;'-' Elle fait donc a\ec Ox un angle égal à ^ — f : c'est la droite Ml', I' étant le point

du cercle diamétralement opposé à I. 11 en résulte que Ml est la normale. Calcidons le rajon de courbure p. On a, d'après la formule génf'ralr,

8R3sin3

sin -

cry — y 3'" \ K-(i — coscp)|

Comme < n a MI := aR sin-, on en (h'diiit

p — iMl.

Le centre de courbure oj est donc symétrique de M par rapport à I : ses coordonnées sont

Posons

il \ient

a"i = H (ç. -)- sincp), J'i = — ^(^ — cosç).

X = H('^, — siu'^] ), V = R(i — coscfi ), Le lieu du |)oint w est donc une cycloïdc égale à la première.

415. Chaînette. — C'est la courbe plane représentée en coordonnées rectangulaires par léquation

Fig. 36.

a étant une constante positi\e. Cette courbe, qui présente une forme parabolique, est sjmélrique par rapport à Oy et rencontre cet axe en un point A, d'ordonnée a {Jîg- 36). Calculons les dérivées première