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Soit M lin point «le la ("oiirhc; ralciiloiis le ravon de coiiihiire ou ce point. La fornuile générale ihîvient

Nous avons ici

d'où

Considérons la tangente MT à la courbe en M; soit cp l'angle qu'elle

fait avec Ox. o est défini par sa tangente qui est égale 'à. y' \ on en

déduit

SI 11'^ = - = — 1 COSCj;

Menons la normale MN à la courbe; on a, P étant la projection

de M sur Ox,

PiM = MNcoscp,

d Où

coso a

MN étant égal au rajon de courbure, le centre de courbure est le symétrique de N par rapport à M.

Evaluons lare AM: nous avons

ds — J i-^ y'-dx = - dx = -Ke" -\- e " } dx. -^ Il x ' '

d où, en prenant A comme origine des arcs, arc A M = T - (e"'

-\- e " dx = - \e" — e

210 niAPlTUK VI. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

Abaissons tic l' la perpendiculaire PG sur MT. Je dis que l'on a

arc AM= GM.

En efter, on a

GiVl = r.M sin o = y—, -. = - \e" — e

Reniarcjuons aussi que l'on a

PG= PMcosç = 7- = a.

416. Traclrice. — Considérons niainlcnaiiL le lieu du point G. Pour obtenir G, on porte sur la langcntc en M à la cbaînctle un segment MG égal à la longueur de l'arc AM. Or, c'est là la construction générale d'une développante d'une courbe. Le lieu deG est donc une développante delà chaînette; on appelle cette courbe la traclrice. Elle part du point A, tangentiellenient à Oy et est symétrique par lapport à cet axe; sa normale en G est GM, sa tangente est GP. Nous avons vu que ce segment GP a une longueur constante et égale à a. On dit (jue la traclrice est une courbe à langcnlcs égales, en entendant par tangentes les segments tels que GP.

Dans le triangle TMP on a

GM.GT= GÏ»'= «2.

Or, pour la Iractrice, M est le point de renconlre de la normale avec son enveloppe; GM est donc le rayon de courbure de la tractrice. En appelant normale le segment GT, c'est-à-dire la portion de normale comprise entre le point d'incidence et l'axe des .r, nous pouvons dire que dans la tractrice le produit du rayon de courbure par la normale est constant.

Quand M s'éloigne indéfiniment, GT tend \ers o, o vers 7 » la courbe est asymptote à Ox.

417. Hélices. — Soit C, une courbe plane {Jig. 3^); prenons un système d'axes rectangulaires, le plan des xy étant le plan de C|. Soit m un point de cette courbe Cj ; sur la perpendiculaire en m au plan des xy., portons à partir de m un segment mM proportionnel à l'arc Oi w?, O) étant une certaine origine prise sur la courbe C|. Le lieu C du point M, lorsque m décrit C|, est une hélice.