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D'auU'c [)aii, (ui a
-d'où
Fis. 3-.
Nous allons tléduiro de là dllTérentes conséquences. Nous avons, avec les notations de la théorie générale,
ds
cest-à-dire que y est constant. La tangente à l'hélice fait donc un angle constant avec la perpendiculaire au plan de la courbe C(. Réciproquement, soit C une courbe telle que la tau'iente à celte courbe fasse un angle constant avec une direction fixe. Prenons Os parallèle à cette direction; yest constant. Comme on a d: = r ds, on en déibiit
en ciioisissant convenablement l'origine des arcs sur la courbe G. Cela étant, projetons orlhogonalement la courbe sur le plan des xj., «t soit .V, l'arc de la projection, en prenant pour origine la projection <ie l'origine des arcs de C. On a
ils] = dj"^ -^ dy- == ( a2 -^ ^2 ) f/A-2 = ( I yî ) ds'd'où, en intégrant,
\']n comparant avec :; =. v.ç, on en déduit
CHAPITIIK VI.
APIM.ICATIONS GKOMETUIQUKS.
La courbe C peut tloac être obtenue par la construction précé- (lenlc ; c'est donc une hélice.
4 18. Dans l'hélice, la normale principale est parallèle ait plan (le la co«/"Z?<? G,, c'est-à-dire, avec les axes choisis, pcijieudicuiaire à ():;. En ellel, on a. avec les notations habiliirlles,
ds W'
Comme v est constant, on en déduit
Yi = "i
ce (|ui établit le fait. On peut encore le voir en consi(l<'r,iiit l'indicatrice sphérique. Le point (a, ,3, v) décrit sur la s|)hère de rayon i un petit cercle dans un plan parallèle au plan Ory. La tangente à ce cercle et, par suite, la normale principale sont coustaninient parallèles au plan xOy.
Soient R et R| les ravons de courbure de (^ct C|.
Le rapport de R à R, est constant. On a, en elFet,
ds^
ds";
rf?^'
et, comme cb' est nul, on a
ds ds\
•419. Montrons enfin que le rapport des rayons de courbure et de torsion d' une hélice est constant. En efî'et, nous avons vu que *' est constant et que y, est nul. Donc y^ est constant. F. i formule
devient alors
ds
COIlSt
Réciproquement, toute courbe pour laquelle t^ est constant est une hélice. En elFet, on a, les axes de coordonnées étant suj^posés
