VI. — Équations intrinsèques des covu-bes
420. Courbes planes. — Considérons une courbe plane rapportée à des a\es reclangidaires, les coordonnées d'un point de cette courbe élant données en fonction d'un paramètre t. L'arc 5 de la courbe, compté à [)arlir d'une certaine origine, et le rayon de courjjure p sont deux fonctions de /. Si l'on élimine / entre ces deux expressions, on a une relation entre p et s, soit p =■ o(s).
Soit 0 l'angle avec Ox de la direction positive de la tangente ; on a
a = cosô, ^ = sin 0.
La quaiitilë ch- définie dans la théorie générale est ici égale à d'y.- + cVp-, c'est-à-dire à d^'- ; donc
Cela posé, étant donnée une relation 0 = 0(5), cherchons une courbe dont le rayon de courbure et l'arc satisfassent à cette équation. Supposons d'abord que 8 et 5 croissent en même temps; on
aura
ds
d'où
d'où, en intégrant et désignant par O,, la valeur de B qui correspond à l'origine des arcs,
Soient Xo, jKo 'es coordonnées du point origine des arcs; on aura, en intégrant les relations dx = a ds^ dy = |i ds^
X — J^o = / cos6<y5, y — y a— 1 sin
Ods.
On a ainsi les coordonnées d'un point de la courbe.
En partant de l'hypothèse où 8 et s varient en sens inverse, on ferait les mêmes calculs en remplaçant cp par — cp. Dans les deux cas, on trouve une courbe dont la forme est bien déterminée. En elFet, les constantes arbitraires dont dépend celte courbe sont Bq, Xq: fn- A différentes valeurs de 80 correspondent différentes courbes qui peuvent s'obtenir par le déplacement de l'une d'elles dans le plan : de deux courbes correspondant aux valeurs Q05 ^'01 P^"^ exemple, la seconde ne diffère de la première cpie par ce fait qu'elle a tourné de l'angle B'^ — B^. De même, à différentes valeurs de .ro, j) 0 correspondent des courbes qui se déduisent les unes des autres par des translations.
En second lieu, suivant que l'on prend pour p la valeur -^ ou la
valeur jr, on a pour B deux séries de valeurs opposées. On reconnaît que les deux séries de courbes qui correspondent à ces valeurs peuvent être obtenues en parlant de deux courbes symétriques Tune
