VI. — KQIIATIONS INTIUNSKQI KS DICS <:0l HUKS. Ul

par rapporL à 1 attire et tlonnanl à rliariiiic d'elles lotiles les |)f)sili(tn'^ dans le plan.

Va\ l'ésumé. nous lioiiNons titie iiilinil»'- de coiirhes satisfaisant à la relation o = 'j(.s), toutes ces courbes ayant inèine forme et ne différant enlre elles que par leur p;)sition dans le plan. L'équation p = 'f (•^) est dite l'('f/f('i(co/i i/il/i/isr//(/i^ de ces courbes.

i^ll . Courbes gauches. — ■ lieiiiaïqiions (ptc, potif iitie roiirbo quelconque, x^ y, z élanl définis en ronclion ditii paramétre /, s se trouve défini en fonction de ce paramètre. On peut inversement exprimer /, puis -v^y, z en fonction de s, qui est alors le paramètre.

Supposons que, pour une courbe, on connaisse R et T en fonction de .ç, soit R = '>2'(v), T = ']>(■?), les fonctions '^ et 'h étant holomorphes, c'est-à-dire développables en séries entières. Supposons de plus que les coordonnées x,y, z soient, au voisinage d'une certaine valeur /„, développables en séries entières; soit .ç„ la valeur de s correspotidante. s est fonction holomorphe de /, / est fonction holomorplie de s et, par suite, x^ y, z sotit fonctions holomorphes de s. Cherchons leurs développements en séries entières par rapport à s. Nous aurons

fdx\ , I /d''x\ , „ I (d'^x\ ,

tout revient a avoir -7-. ~, — j • • •• Un a

ils as ■

dr d-x dy. y.j

ds ' ds- ds K

Admettons que 1 on ail d une façon générale

—j— = A„aH- B/^a, -t- C,, a^, ds"

^ =A,Y-f-B„Yi-i-G„Y„ ils ' ' ' '

A/,, B,,, C/, étant certaines fonctions de s. Dérivons ces expressions et utilisons les formules de Frenel; il Aient

Il suffit de poser

A — \' ^" n — lî' -u '^" i ^" r — c ^"

-2l6 CIIAPITKK VI. — AI'PLICAÏIONS GÉOMÉTRIQUES.

pour retrouver une exj)ressioii de même forme que l'expression de -z — En particulier, pour les dérivées premières, secondes et troisièmes, on a

Al = r, Bi = o, Cl = o,

Ao = o, '^- = ïï ' ^'- = "'

d" X (/" y d" z On peut ainsi calculer de proche en proche — 7^> , • ? -r-^» dès ciue ^ ^ ' as" as" as" '

R et T sont connus en fonction de .s-, et, ]iar suite, a\oir les déxohjp-

j>ements de x, y, z.

Donnons-nous arbitrairement le point x^^, y^-! -^oi hi lani;enle en ce point et la direction de la normale |)rincipale dans le plan normal, ce qui correspond à six paramètres arbitraires. Une fois ces éléments fixés, les neuf cosinus a, [3, v, a,, ... sont déterminés, ainsi que tous les coefficients qui figurent dans le dévelo|)|)ement de x, y, z; on a une courbe bien déterminée.

La forme d'une courbe est donc- déterminée par les relations (jui donnent Iv et T on fonction de s. Ces relations s'appellent les crjualious inirinsèques de la conibe.