AB
= Y{z)-¥{zo).
L'intégrale du premier membre est prise sur un chemin quelconque joignant ^îq à ; et contenu dans G. On la désigne aussi
On dit que F(^) est nne fonction primitive de f{z).
m. — iNTi:(;it\i.i's in: \ auiahi.i.s comim.ixks. 17
Deux foncliDiis priiiiil i\ es de /'(:•) (lillV-rciit |);ir une roiisliinlc, car Ifiir (lillV'icncr <I> doit avoir [xiin- (It'iiNéc zi ro. Or, si ^P(Zj a pour dérivée zéro, c esl que, eu [tosaiil
.|. = l> -f- jQ.
on a
dP dP (>Q ^ .
Ox ' Oy ' r).r ' Or '
donc P el Q sont constants et, par suite. <!> l'est aussi.
Coinnie j)oui' les variaMes réelles, nous désignerons par / f\z)dz une l'onction primitive de /(;;), définie à une constante additive près.
"ïl'^. Périvatinn par rapport à des paramètres. — Considérons une fonction de plusieurs variables complexes /{z, z' , z", . . .) supposée holomorphe par rapport à ces variables lorsque z, z' , z'\ . . , sont dans certains domaines D, D', D", ... de leurs plans respectifs.
Prenons rintéi,n'ale dey(:;) par rapport à ; le long d'un chemin L contenu dans le domaine D (L pouvant être un chemin fermé), soit
| = P, + iQ,= I f(z,z',z\ ...)dz.
Les variables z\ z" , . . . jouent le rôle de paramètres. Je dis que cette intégrale est fonction holoniorplie de z\ z" , . . . et que ses dérivées s'obtiennent par la règle valable pour le cas des variables réelles. Posons
z = x^iy, z' = x'^iy\ ..., /=P-^fQ;
on a
P,= fpdx—qdy, Q, = fqdx-^Pdy.
Dans P et Q figurent les paramètres réels x', y', x", r", .... D'après la théorie des intégrales curvilignes (t. I, p. 216), P, et Q, sont fonctions continues de ces mêmes paramètres et ont des dérivées qui s'obtiennent en dérivant sous le signe / . On a, par exemple,
i^= f^:^dx-'^dy, ^= f^Rdx-'±dy
\ <iy' A ^y ^y ^ ^y Jl ^y' <^y' ^
|8 CIIAPITRi!: IV. — FONCTIONS ANAUVTIQIKS.
On reconnaît que ces quatre dérivées partielles sont fonctions continues des variables qui y entrent. De plus, les relations d'holomorphie
<)P ^ dP __ dq
dx' oy' oy dx'
entraînent, d'après (i),
dPj dQ^ ^ __ ^
ôx' Oy' dy' dx'
Donc P, et Q, satisfont, par rappoil aux dillérents couples de variables (x',y), (x",y'), ..., aux relations d'holoniorj)hie. Par conséquent, le nombre T est une fonction F des variables s', z", ... holoniorphe par rapj)ort à toutes ces variables. Calculons ses dérivées ; on a
dF dP, .do, f/dP .àq\., ., r df ,
—-7 = -—7- -H i —^ = / I -^, ^ i —^ ) {dx -^ i dy ) — / -^, dz. dz dx dx Ji \dx dx j J^ dz
Ainsi, la dérivée de l' intégrale par rapport à z' s'ohlient en remplaçant, sous le signe j , la fonction / par —,•
2^24. Théorème de Caiichy. — Soit A un domaine du plan des z dont la frontière est constituée par un contour simple C {cf. t. I, n° 197, p. 219); soit /"(s) une fonction holomorphe en tous les points de A, contour compris. Je dis qu'on a
(1) j f(z)dz = o.
En eflet, on a, si /= P + /Q,
f f{z) dz= fpdx-Qdy^ifqdx^P dv.
La formule de Green est applicable à chacune des intégrales curvilignes du second membre, et donne (t. I, n" 199, p. 228)
En vertu des relations d'holomorphie, les éléments différentiels des intégrales doubles sont nuls, ce qui établit la relation (i).
m. — IMKUnAI.KS l)K VAUlAllf.r.S COMPI.KXKS. I9
!2î2o. Cas it'un dunidiru; Innilr par /ih/sieurs conlonrs s/ni/i/is (cf. t. 1, [). 2>3). — Soit V un domiiine liinil«i par un <:<)nl()ur simple v; on retranche de A un ou plusieurs domaines A,, An, ... contenus dans A, extérieurs l'un à l'autre, et limités respectivement par les contours simples y,, yo? • • • {J^r- '9)5 ^^^^ ^ ^^ région res-
Fig- '9.
tante. So'\l f{z) = P + i() une fonction holomorphe dans B et sur les contours v, v,, v.>, ....
Par application de la formule de Green (t. I, p. 2>-4)) on peut écrire
- f f (^ ^ ^ ) dx dy = fpd:r-Q dy -^ T P dx — Qdy -^- . . . , ffi'^^ -^j^-rr/r= [Qdx-i-Pdy-^Jqdx^Pdy^...,
les intégrales curvilignes étant prises dans le sens positif par rapport à B sur "', yi , yo, ....
Les premiers membres sont nuls en \erlu des relations d liolomorphie. Changeons le sens de parcours sur y,, ya, ... de façon que ces contours soient parcourus dans le sens positif par rapport à A,, Ao, ... ; nous avons les formules
dv
fpdx — qdj= f p dx — q
j qdx-^Pdy ^ C qdx-^P dy ^.
Par combinaison de ces formules, on oi^tient la formule londamcntale suivante :
ff(z)dz= f/(z)dz-^ f/(z)dz
les intégrales étant prises clans le sens positif sur tous les contours y, V,, Vo, .... C'est le théorème de Cauchj pour les contours complexes (').
