VIII. — LIGNES ASYMPTOTIQIES. A
fonclion de c. En fonuiml de m^mc G|, on ohlieni un polynomn du second deyré en it, doni les eoelfieients soni des loiuMioiis de r. I) ;mtre p;irl, 1 ('qiiiilion (hHi'ieiilitdle de la seconde fainilh' de lignes asvni|)t(>li(|ues esl
v. l'i f/« -'- Gi rfr = ().
D après ee que nous \en(^)ns de voir pour F, cl (i,, elle peut se mettre sous la forme
av
L, M, ]\ ('lanl des fonctions de r. C'est une équation de Rieeali.
4-39. TidiiiCiilrs conjuguées. — Etant donné un point M d'une snifaee S, nous dirons que deux droites menées par M dans \c plan lanj;enl à S sont deux tangentes conjuguées par rapport à S si ces deux droites sont conjuguées parra|)port à lindicatrice. Cela revient, comme on sait, à dire qu'elles sont conjuguées par rapport aux asymptotes de l'indicatrice.
Supposons la surface définie en coordonnées curvilignes générales. Considérons une courbe tiacée sur la surface et posons, pour cette
courl)e, -j- = a. Celte quantité a définit en chaque point la direction de la tangente à la courbe. Projetons cette courbe sur le |)lan des xy par exemple, et soit tu le coefficient angulaire de la tangente à la projection. On a
ôv , ùy , Or oy
, -^ du ^ -f-ilv h ;x --
cly lia fh' ou ov
dx â.T r)x Ot ()t
— du rtc \x —
Ou (Jv t)u ot'
On reconnaît ainsi que m et u sont liés par une relation homographique.
Cela ])osé, rappelons que le coefficient 'x relatif aux asymptotes de l'indicatrice est défini par l'équation
(i) El -+- •> Fi u -f- G] '1- = o.
Pour que deux directions de coefficients [j. et u.' soient deu\ directions de tangentes conjuguées, il faut et il suffit que leurs projections sur le plan des xy par exemple, de coefficients m et m' , soient conjuguées par rapport aux asymptotes de la projection de l'indicatrice. 11 en résulte, à cause de la relation liomograpliique qui existe entre u
■î3>. CHAPITRE Vr. — APPLICATIONS GKOMKTHIQl ES.
et m d'une pari, uJ et m' d'autre part, cpie 'j. et a' doivent être conjtij^ués par rapport aux racines de l'équation (i). La condition pour qu'il en soit ainsi est, comme l'on sait,
El -i- Fj ( [X -h a' ) -4- Gi ;ji;jl' = o.
T-. fA' , oc , . . , .
lin posant <j. = -— . u = -^ , cette relation s cent
El du on ^!- Vi( du oc -;- dv ou ) -f- Gi dv w = o.
Cherchons à obtenir directement celle condition dans le cas où x^ y sont variables indépendantes. L'indicatrice en un point a pour projection sur le plan des .rr une conique homothétique à la conique ajant pour équation
/•X'--i- 25 XV ^- t\' — const.
Pour que m et m' soient, dans le plan des x\\ les coeflicieuls angulaires des proj<;clions de deux tangentes conjuguées, il faut el il suffit que l'on ail
r -\- s ( m -{- m' ) -+- tmm'= o,
dy f oy ou, en posant m = -^, ni = -^ , '■ dx ox
r dx ox ^ si dx oy -^ dy ^x) -~ t dy 0/ = o.
En un point d une surface, deux tangentes conjuguées sont distinctes, à moins qu'elles ne coïncident avec une tangente principale.
i40. Si deux familles de courbes tracées sur la surface, telles qu'il passe par chaque point une courbe de chaque famille et une seule, sont en outre telles que leurs tangentes en chaque point sont deux droites conjuguées, on dit que ces deux familles de courbes forment deux familles conjuguées.
Supposons qu'on se donne une première famille de courbes telle que par chaque |)oint de la surface passe une courbe de cette famille et une seule. Le coefficient angulaire m de la tangente à cette courbe en chaque point est déterminé, et par suite le coefficient angulaire ni' de la tangente conjuguée est aussi déterminé. Nous pouri'ons donc trouver une seconde famille formant avec la première un système conjugué, en déterminant une famille telle qu'en chaque point de la surface le coefficient angulaire de la tangente soit égal à m', c'està-dire à une fonction déterminée et connue des coordonnées.
