IX. — Lignes de courbure

14*2. On appelle ligne de coin ùu/c d'une sur/ace S une ligne /racée sur celte sur/ace et tangente en c/taque point à l'i/n des axes de V indicatrice relatii-e à ce point. Supposons la surface définie en coordonnées curvilignes générales et partons de la formule fondamentale relalixe aux sections normales (n" 4^, p. 22.3):

II li| dii'--T- -i V \ (tu itv — Gi di- ^'^ îï "^ Ji du' -f- -i F du di- — G <rA-2

D'après l'étude qui a été faite de la variation de R (n" 4-30) , le premier membre est maximum ou minimum quand la courbe coirespondante est tangente à un axe de l'iiiflicatrice. On aura donc les courbes tangentes à un axe ^\(' rindicaince en chcrcliaut les valeurs

de — nvii rendent maximum on iniiiiiiinni le second nicinbic. Or, ce uu 1

second membre est une fraction du second degré, et l'on sait (piiine

expression de la foi-me /'=-|-5 — '-^, où c5 et 'i sont des polynômes

homoecnes et du secf)nd dc<;ré en x et r, est maximum ou minimum lorsqu'on a

D'après cela, R est maximum ou minimum lorsqu'on a H ¥.,du^V,dv F,du — G,,/v

R E du -r- F di> F du -~ (i dv

En ("galant les deux derniers rapports, on a la relation à laquelle

doit satisfaire -j- pour que le point (w, v) correspondant décrive une

ligne de courbure. Cette relation est \ équation différentielle des lignes de courbure. En la mettant sous forme entière, on obtient

( El F — FFi ) du^ -^ { El G — EGi ) du </i- -r- { F, G - FG, ) fA-2 = o.

C'est une équation du second degré par rapport à -r-- En la résolvant par rapport à -r— j on obtient deux équations differenlielles du

premier ordre. A chacune de ces équations coiTCspond une famille de lignes de courbure dépendant d'un paramètre arbitraire, de sorte que Ion a sur la surface deux familles de lignes de courbure, et que