IX. — i.K.NKs i»i-: cnriiiM lu:. >'iS
pai- cliiuiiic |)(tiiil (le la siirlacc |)iiss(' en j^i'-ni rai imc li^ric de (;lia(|ii(; lainillc cl une seule, l/enseiiihle de ces deux raiiiilles l'orme sur la suilaee un réseau de eourhes à la lois oillioi;ouales el eoii|nj;ui'es.
H'A. Re\enons aux i'elali<ins [-à). Un en (l<'duil
( EU — E, l\ ) </u -h ( FH — F, li) ih- = o, (FH — F,R)r/»-(-(GH — G,R)f/t. = o.
JNous |)ouvons, enlie ces i\c\\\ reialions, eiiMiinei' f/i/ el f/^'. L ('-(lualiou (lu second degn-en 1\ que nous obtenons ainsi d('liiiil en cliaque poiiil les rayons de courbure ])rinci[)aux. C'est 1 ë(|ualion
( KM - F, H )(GH — G, Ri — (Fil — F,nj2=o,
ou encore
O; ( E, G,— Ff)R2— (EGi-f-E,G — 9.FF,)1IR + IF- = o.
On sait que le cocffîeient H est essentiellement diflérent de zéro en un point ordinaire. Celle équation n'a donc pas de racine nulle. Le coefficient de R- est EiG, — F^ ; il est nul en tout point pour lequel les directions des asymptotes de l'indicatrice sont confondues, c'est-à-dire en tout point parabolique. En un tel point l'équation aux rayons de courbure principaux a donc une racine infinie.
Pour un ombilic, on a
On peut poser, dans ce cas,
E, =aE, F, = aF, Gi = XG.
L'équation aux rayons de courbure principaux de\ient
(H — aR)2 = o.
Elle a ses deux racines égales; lindicalrice est bien un cercle, comme nous le sa\ions déjà.
444. Dans le cas où Ton prend comme yariables in(léj)endantcs./", i'. la formule fondamentale qui définit le rajon de courbure diine section normale est (n° 435, p. 228)
V^i — /'- ^7- '' d.r- -^ ■> s fl.r cly -^ t (/v^
( I -t- /j- ) (tx- -i- y.pq dx dy -r ( 1 — 7- > '(»-
%36 CHAIMTRK VI. — Al'l'l.lf: VTIONS GÉOMKTIllQ l ES.
En lui appliquant la même méthode, on est conduit à écrire pour un ravon de courbure principal et une courbe tangente aux axes de l'indicatrice
\/ \ -r- />' — q- r clx -f- s dy s dx -f- t dy
H ( r -f- /y- ) dx -f- pq dy jiq d.r -t- ( i -H 7 - ; dy
En égalant les deux derniers rapports, on a r(''(juation dillérenticlle des lignes de courbure, ou plutôt de leurs projections sur le plan des xy :
[(l -{- p- )S — pq'] dx- -h [(I -^ p- }t — {1 -i- q- )r\ dx dy
-\-[pqf — (i -:- q-)s\dy- = o.
-iio. Autre définition des lionnes de courbure. — Clierclions à déterminer sur une surface S une ligne telle que la normale à la surface en chaque point de cette ligne reste tangente à une courbe, par suite (n" 388, p. 180) engendre une surface développable. Prenons comnie variables indépendantes x ely. La normale au point (.r, y, z)
a jiour équations
Jl s'agit de faire varier x, y en fonction d'un paramètre, de façon que cette droite reste tangente à une courbe. D'après l'étude des en\eIoppes de courbes (n" 383, p. i-(')^, il faut exprimer que le système fornK' par les équations de la normale et ces équations différentiées par r;ip|)ort au paramètre sont compatibles en X, Y, Z. Or, on obtient par dillérentialion
— dx -!- dp ( Z — z ) — p dz =0,
— dy — dq ( Z — z) — q dz ^^ o.
Ces deux équations contiennent seulement Z; si elles donnent la même valeur pourZ, les deux premières équations fourniront X et Y, et le système sera compatible. Le point X, Y, Z ainsi déterminé sera tel que son déplacement s'effectuera tangentiellement à la droite ellemême.
En écrivant que ces deux équations sont compatibles en Z, on a la
condition
dp dq
dx -+- p dz dy -\- q dz
OU, en exprimant dp^ dq. dz en fonction de dx^ dy.,
r dx — i' dr s dx -^ t il \
(1 -T- p- ) dx -r- pq dy pq dx -t- ( • -f- ^ - j dy
i\. — i.i(;m:s uv. coi riiiiKK. vi'jy
Colle relation, à la<jiu'Ile doivent satisfaire les ikui doDnées x, y d un point de la conrlje eliereliée, est 1 ('M|(ialion df'jà ohtrniie pour les lii;nes d<' coiirhure (n" iii). On a donc le i('-<idtal ^iii\aiil :
Li'.s lii^ncs de courbure sont les lii;iies tel/es ffue ht norninle à 1(1 surface le long de ces lignes reste tui\genle à une enurhe, par suite engendre une surface dé<i'eloppahle.
l'renons, par exemple, une surface do rc\oluliun. lui chatpnj point, la tangente à la méridienne est, par raison de sjmétrie, un axe de lindicatrice. L'antre axe est la tangente au parallèle qui passe par ce point. Les méridiens et les parallèles forment les deux familles de lignes de courbure. Si Ton considère un parallèle, les normales à la surface le long de ce parallèle formenl un eone ; on jx-ul diie (pie leur enveloppe se réduit à un point, le sommet du cône. Les normales à la surface le long d'une méridienne forment un plan et sont, dans ce plan, tangentes à la développée de la méridienne.
i46. Comme ajiplication des théories précédentes, cherchons les lignes de coiirljure du paraholoïde équilatère qui a pour équation
a A*, y étant les variables indépendantes, nous avons ici
p ^= —, CJ =^ —, /• = O, V = — , t z= O,
L'équation dillérenlielle des lignes de coui'bure devient
— dy — à.r
OU
flx''- dy-
dy dx X- -H a^ y"^ -r- a-
d'où, en extradant la racine carrée,
flx dr
\fx-^ — a- ^y- ■
En intégrant, on obtient
L(a: -H v/^"--r- a') = ± I-(^ -i- \ly- -t- a-) -+- const.,
•238 CUAPITRi: VI. — APPLICATIONS GÉOMKTRIQUES.
(1 OÙ les équations des deux fainilles de lignes de (ujuihin e
(x -I- \/x- -^ a-) {y -+- ^j^-\- a') = X, [x -h \/x' -+- a'^ ) (j- — //"' -f- a^ ) = ;Jt-
447. Comme second exemple, considérons la surface engendrée par une droile parallèle au plan des xv rencontrant o3 et s'appuvant, en outre, sur une hélice circulaire ayant pour axe oz. C'est une surface de la famille des conoïdcs appelée liélicoïde à plan directeur.
Définissons l'hélice en prenant pour paramètre l'angle 0, tel que les coordonnées d'un point de l'hélice soient (/• étant fixe)
a7 = rcos0, j^ = /"sinO, ^ = «0.
On j)cut considérer l'Iiélicoïde comme défini par les mêmes équations, 0 et /• étant deux paramètres indépendants. Faire varier /•, 0 étant fixe, revient en eflet à considérer tous les points de la génératrice de l'hélicoïde. En faisant ensuite varier Q, on obtient tous les points de la suilace.
h'ormons le lahleau des dérivées de x., >', z par rapport à /• et 0 :
dx „ — - = cosO.
dr
dr
dz
dx . , =-,-. m 0.
"y Ci
dz
Or-^ - "'
<Jr-
drd^= ""'^■
dr d^)
dr (>0 ~ "^ '
On en déduit, les coordonnées //, (^ de la théorie générale étant remplacées par /■, H,
Kj = o, Fi = — a, Gi = o,
Les équations générales donnant les lignes de courbure et les rayons de courbure principaux (n" 412, p. 234) deviennent
yr- -+- a "- a <r/0 a dr
^'^ Û "" ~d7 ^~ (r-^-^a-i)df)'
i\. i.1(;m;s di: coi mu iik. v.mj
I /<''(jii;il iim ilillV;r'culit;llf dcîs lij^iics de courhiirc csL donc
d'où, en. ial(''i;iiml (;l di'SigiMiit |)iu- Oq uïw roii-ilimlr iiiliitr.iirc,
L'cqiialiou aux ravoiis de coiirlmre prinrlpatix s'ohtient ici en <''^alanL le carré du premier rapport (i) au produit des deux derniers; c'est donc;
ou
On voit (pien clxa([ue point, les rayons de courhure principaux sont deux nombres opposés.
On appelle surface inininia une surface jouissant de cette propriété; c'est une surface dont V indicatrice en chaque point est une hyperbole é<juilatère.
448. Développée d' une surface. — Soit G une ligne de courbure sur une surface S. Nous avons vu que, si un point M se déplace sur C, la normale en M à la surface reste tangente à une courbe. Supposons la surface définie en coordonnées curvilignes générales, et soient x, y, z les coordonnées de M, X, ^ , Z celles du point de contact de la normale avec son enveloppe. Les cosinus de la direction positi\e sur la normale en M sont
'•-ÏÏ' '^-H' '-ÏÏ'
et l'on a, en api^elant o la distance du point M au point (X, \. /i comptée algébriquement sur la direction A, a, v,
\ — ar -i- Àp. Y = ^ -+- [jLp, Z = ^ -^ vp.
Eci-ivons f[ue le dé|)lacemenl du point ( X. Y, Z) se fait tangentic'llement à la normale, c est-à-dire que l'on a
d\ (t\ dL
24o rHAPITRK VI. — APPLICATIONS GÉOMKT«IQUES.
Remplaçons c/X, r/Y, (IL par leurs valeurs,
d\ = dx -1- X rfp -t- p d\, . . . , il vient, après réduction,
dx -4- p <7À f// -I- ,^ d[^ il^ -^ '^ d'i
En multipliant les deux termes du premier rapport par }v, ceux du deuxième par a, ceux du troisième par v et ajoutant, on obtient
>. dx — ;jL r/i- -1- V dz -f- o(\ (Tk -- [J. d\x -f- v c/v) X'^ -f- ;ji- — v2 '
et ce nouveau rapport est égal à cliacun des précédents. Son numérateur est d'aiileuis nul, car on a s('parément
X dx -- iJL dy -f- V dz =0, ). d'k -i- ,a d\x 4- v rfv = o.
On doit donc avoir
dx -r- z cCk — o, dy -+- p rfa = o, dz -f- p f/v = o,
d'où
p ~ dx dy dz
En difierentiant les formules a = jj? • • •» on a Hf/V — Af/H
irk = jj^ ,
d'où, en remplaçant a'/ . f/a. (h par ces valeurs,
I kd\\-\\ d\ B d\\ — \\d?y C ^H — H ^G p ~ W^dx "" H^ dy ~ 11= dz
et, en multipliant les termes de ces trois rapports respecti\ement par dx^ dy^ dz et ajoutant,
I — H ( rfA dx ~ dB dy -X- dC dz ) p H- ds-
Évaluons HdAdjC. En différenliant la relation S\c/a; = o. nous
avons
Z X d'-x -\- - dX dx = o,
d'où, par un calcul déjà fait (n" 42o),
I ZX d'-x E| du- -+- i F) du dv -^ G| dv-
H «fi- il ( E «?«- -h ■> E <;/a (/(■ -+- G <^/^'2 )
i\ — i.icNKS i»i: rociuniRK. i4 r
( )ii \()il (|iie 1 On ;i z W . W ('•t.int le r;ivoii do coiiiIhiii' de la scdioi» normale lanocnle ;"i la couiIk' Ikmi de M.
Donc /<' point de coiilacl di' la nornutlc en M cnoc son envelo/inr , quand M décrit if/tc Ligne de couihuve, est le centre de courhnre de la section normale qui passe par M et qui est tangente en M à cette ligne.
Knlre .x , j\ :-, )., |j., v et 1^. (in a, en onlr*-, les relations
dx -h R d\ = o, i/y -h R d^ = o, '/z ~ W di = o ;
ce sont les formules de Rodrigues.
On voit ainsi qn'à chaque lij^ne de courbure dune surface S correspond une courbe, enveloppe de la normale. Si l'on fait varier la ligne de courbure sur la surface dans la famille à laquelle elle appartient la courbe considérée décrit une certaine surface 2. A l'autre famille de lignes de courbure correspond, de même, une surface S'. L'ensemble de ces deux surfaces S, S' constitue ce que l'on appelle la développée de la surface donnée.
Si l'on part d'une surface définie par une équation algébrique, ï et S' seront, en général, non pas deux surfaces analjtiquement distinctes, mais deux nappes d'une même surface.
4-49. Comme application de la proj^riété précédente des lignes de courbure, indiquons une nouvelle manière d'écrire l'équation de ces lignes en coordonnées curvilignes générales. Soient (^,j^, z) un point d'une ligne de courbure, (X, \, Z) le point de contact de la normale au |)oint (.r, y^ z) avec son enveloppe. A. B, C étant, soit comme plus haut les déterminants fonctionnels àex, y, z par rapporta u. e, soit des quantités respectivement proportionnelles à ces déterminants, soit z une quantité proportionnelle à la distance des deux points (^, Tj ^)') ( X. Y, Z); nous aurons
X=;7-^Ap, Y=r^Bp. z^z^Cz.
Les conditions auxquelles doivent satisfaire X, Y, Z sont
