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dr — p ^A dy -^ ; ^B dz-~odC A ~" B ~ it '

B. - II. i6

^4'2 CHAI'ITRK VI. — APPLICATIONS llKOMKTRIQl ES.

soil /•" la valeur comnuine de ces rapports. Les équations

dx -+- p dk — A /,- = o, dy -+- p rfB — R / — o, dz -{- 0 dC — C/i = o,

qui sont trois équations linéaires et homogènes par rapport aux trois quantités non toutes nulles i, p, — />", doivent être compatibles. Leur déterminant doit donc être nul; c'est-à-dire que Ton a

dx dy dz ABC dk rfB dC

Cette relation, à laquelle doi\cnt satisfaire x, y^ z^ est Véquation différentielle des lignes de coiivhurc.

ioO. Théorème de Joachin\slhal. — Si deux surfaces Sel S' ont en commun une ligne de courbure, elles se coupent sous un angle constant en tout point de cette ligne.

En elTet, soient C la ligne de courbure commune, M un point de G. Quand M varie sur C, la normale à S et la normale à S' ont, l'une et l'autre, une enveloppe, et ces deux courbes enveloppes sont deux développées de C. Or (n" 411, p. 2o4), étant donnée une courbe C, si deux normales à cette courbe C au même point ont des enveloppes, elles font entre elles un angle constant. Cet angle étant jiisteiuent ici l'angle des deux surfaces S et S' en M, la projiriélé énoncée en résulte.

Réciproquement, si deux surfaces S et S' se coupent sous un angle constant suivant une courbe C et si C est ligne de courbure pour S, C est aussi ligne de courbure pour S'.

En effet, la normale à S le long de C reste tangente à une dévelo])pée de C. D'après l'étude des développées de courbes gauches, si Ion fait tourner cette normale d'un angle constant en restant dans le plan normal à C, la droite ainsi obtenue a elle aussi une enveloppe. Mais cette droite n'est autre que la normale à S' le long de C. Donc C, qui remplit par rapport à S' la propriété caractéristique des lignes de courbure, est une ligne de courbure pour S'.

Remarquons, en particulier, que toute courbe plane peut êire considérée comme une ligne de courbure de son plan; de même, toute courbe tracée sur une sphère est une ligne de courbure pour cette shpère. Il en résulte que, pour (ju'une ligne plane ou spliérique