IX. - MUNIS i)i; COI mu m:. :?. i i
tidCA'C siif II lie siirfiicc S sm'l lii^nc de courbure pour S. il fdiit eL ilsuffit (jiic le l'hin ou la sji/iere «jui contient celte ligne rencontre S sous un a ni; le eonsliinl .
'ù\\ . S]stè//ies Irijjles orthogonaux . — Un appelle systènn' triple orthogoniil un système de Irols familles de surfaces tel (|iic |>ar loiii point de l'espace passe une surface de chacjue famille <l une seule, ces trois surfaces se coupant deux à deux à angle droit.
Par exemple, étant donnés trois axes de coordonnées reclanj^ulaires, le svslème i\('> |)laiis parallèles aux Irois plans (le cooi-ddUiK'es e^l un système triple ()rtln)i;()nal. Ln antre exemple est fourni par le système lies coordonnées semi-polaires : une [)remière famille de surfaces est iormée par les |)lans parallèles au plan des xy, une deuxième famille par les cylindres d'axe O^ et enfin la troisième famille par les plans passant |»ar O-;. Un troisième exemple est fourni par le système des coordonnées ])olaires; les trois familles de surfaces sont : des sphères de centre O, des cônes de ré\olution d'axe Oz et des plans passant par O z.
•io2. Sujiposons les équations des trois familles de surlaces mises sous la forme
A, 'JL, V étant des constantes. Pour qu'an point [x, y, z) les deux j)remières familles soient orthogonales, il faut et il suffit que l'on ait
df do Of do df do (JT ô.r ' dy dy dz dz
En exprimant de même les deux autres conditions d'orthogonalité, <n\ a deux relations analogues relatives à a, 'l d'une part, '!/. / d'autre part.
Imaginons maintenant que Idn ait résolu par rapport à ^, J', z les équations (i). x^ y, z deviennent ainsi des fonctions de A. a, v, et l'on est amené à considérer le système de coordonnées curvilignes A, a, v. Quand A, u, v varient de toutes les manières possibles, le j)nint(.r,^, z) engendre l'espace. Quand v, par exemple, reste fixe, le point (j^,y, z) enirendre une surface de la troisième famille. Si <j. et v restent fixes, A étant seul variable, le point (x, j', z) décrit une courbe (|ui est l'intersection de deux surfaces de deux des familles obtenues, l'une en
244 CHAPITIU: VI. — APPLICATIONS GÉO.MÉTUIQUES.
faisant varier A et u, Tautre en faisant varier À et v, c'est-à-dire (\e> deux surfaces v = const. , u. = const.
Etant donné un point M de l'espace, les trois surfaces passant par ce point se coupent suivant trois courbes passant par M. Ces trois courbes s'obtiennent en laissant fixes deux des paramètres et faisant varier le troisième. Ecrire que les trois surfaces sont orthogonales en M revient à écrire que les trois courbes ). = variable, ijl = variable, v=i variable sont trirectangles en M. La condition d'orthogonalité des deux premières est
dx dx dy dy Oz dz d\ dix ' o\ d\x (fh d<x
OU
2dx dx d\ ()ix ~ '
le signe S s'appliquant aux lettres x, y, z.
En permutant À, iji, v, on a les trois conditions
V^ dx dx v^ dx dx v^ dx dx
^ ' jLd d/. dix ^ d'x (J^i ^ (hi OK
/-. . 1 , 11 I • ■ • dx dy dz
L-onsiderons les deux relations qui contiennent — , -^1 — > nous
1 ij-t (h d-i
pouvons en tirer des valeurs proportionnelles à ces quantités: nous
aurons
dx dy dz
dv c/v <ht
ùiy.z) \y(z,x) D[X, y)
D{)., [jl) D(A, ;jl) D( à, IX)
Dérivons, d'autre part, par rapport à v la relation
Vdx 0x jiu Oh dix
il vient
V^ d-x dx v^ d'-x dx
"^ d-x dx ■^ d'-x dx ^ d'/. &> d-x ~^ jLmi d'x &i dl
ju^^cx^xiwii.- ^^cx . ^ ..^^^.v-o^.w.. /,~r~) — T" 6t par Q et Pv. les expressions qui s'en déduisent par permutation circulaire de A, u, v. La relation précédente s'écrit
R + Q = o. On obtient de même
