Formule fondamentale de Cauchy. — La fonction

est holomorplie par rapport à z- clans tout domaine c[ui ne contient pas le point a. Prenons un cercle G de centre a et de rayon /■ et évaluons l'intégrale / — ^^« • 'c - — «

En tout point M du cercle, on peut poser

z — a = /-(cos<p -f- f sinç.),

o variant, par exemple, de o à 27: lorscpie M décrit le cercle dans le sens positif. On déduit de là

dz = r{ — sin cp -i- i cosç) f/cp

ou

dz =: ir{ cos «p -l- t sin o ) d'f^

et, par suite.

r dz r'~-.

Cela étant, soient /(z) une fonction holomorphe de la variable complexe z dans un domaine D, a un point intérieur à D.

Soit A. un domaine compris dans D, contenant intérieurement a, et limité par un contour simple C {/ig. 20). Prenons un cercle y de centre a, de ra von /•, contenu dans A.

Remarquons que la fonction -=2 — — est fonction holomorphe de z

dans tout domaine contenu dans D et ne contenant pas a. en particulier dans la région comprise entre les contours C et y. Il en résulte, d'après le théorème de Cauchy (n" 223), qu'on a

Jf^ z — a " J z — a

(') Dans la suite, à moins d'indication contraire, une intégrale telle que

\z)dz,

fj^-

où y est un contour simple, représente l'intégrale prise dans le sens positif de parcours par rapport au domaine intérieur à y.