x Ox -^ à'^x dx •^ d^T Ox
Théorème de Diipin. — Les surfaces iV un système triple orthogonal se coupent deux à deux suivant leurs lignes de courbure ou, d' une façon j)lus précise, l' intersection de deux surfaces appartenant à deux familles di (Jérentes est ligne de courbure pour chacune de ces deux surfaces.
Pour tlénionlrer ce tliéorènie, il suffit de démontrer que les lignes de courbure» d'une surface v = const. sont, sur cette surface, les liiines A = const. et les lignes a =z const. *
Considérons la surface v = const. comme définie en fonction des deux paramètres À, ij. qui remplaceront ici les paramètres m, v de la théorie générale. L'équation différentielle des lignes de courlnire de cette surface est (n° 442)
E, cfA-^ F, f/;a Fi cFl — G, d\x E d'h -f- l'" d\x ~~ F dl -T- G <r/;jt OU
El F — EFi ) ^,2 | ( E, G - EG, ) rt7> rf.a + ( F, G — FG, ) d^^ ■.
Nous allons montrer que les quantités F et F, sont nulles. Pour F, la vérification est immédiate; on a, en effet, d'après les conditions d'orthogonalité,
^ V^ dx dx F =>—.--—= o.
^ CA du.
Calculons F, ; nous avons
F, = A#?,^Bi;^^c''' =
cX d^ âl 0\j. ' dl dii
Or \, B, C, c'est-à-dire 7—^-—^ j ••• sont, d'après (3), proportionnels
D(A, jj.) i \ / 1 1
, dx dy d a — , ^, -
que l'on a
fijr^ ()'y ()^ , . . ,
à — > -^, — Pour vérifier que Fi est nul, il suffit donc de vérifier
dx d^x dv d'h dix
C'est précisément la condition P =i o que nous avons obtenue.
F et F, étant nuls, l'équation difierentielle des lignes de courbure
246 chai'Itre vi. — applications géométriques.
se réduit à
f/X ilix = o,
d'où les solutions
\ = const., [Ji = consl.,
ce qui démontre le tliéorème énoncé.
453. Comme nouvel exemple de systèmes triples orthogonaux, citons les systèmes de qualrlques liomo focale s. On montre, en effet, que les trois surfaces liomofocales à une quadrique donnée et passant par un point donné sont deux à deux ortlioj^onales en ce point. De là résulte la propriété suivante, |)ar application du tliéorème de Dupiii :
Étant donnée une surface du second degré, on considère les (piadriques qui lui sont liomofocales; elles forment trois familles et, par un point de Uf première surface, passe une surface de chacune des deux autres familles. Ces deux surfaces coupent la quadrique donnée suivant ses lignes de courbure au point considéré.
454. Remarque . — La notion de système triple orthogonal est l'extension de la notion de trajectoire orthogonale plane. Toutefois, il existe une difTérence entre les deux. Etant donnée dans le plan une famille de courbes, il existe toujours une deuxième famille formée des trajectoires orthogonales des courbes de la |)remière, tandis qu'en général, une famille de surfaces donnée ne fait pas partie d'un système triple orthogonal.
