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Je dis que le plan variable {\) est osculaleur à d au point {x, y, z). En eH'et, les coordonnées de ce point sonl des fonctions de t définies par les équalions (i), (2), (3), et si, dans ces éfjiialions, on roinpl;icc .r, y^ z par les (onctions de t ainsi définies, elles sont \ (''rifi<'cs idciili- (|uenient. Dans ces conditions, on a, en dérivant (1) et tenant compt*; de (2),

(4) A.r'-+- Bj^'-t- G^'= o.

De même, en dérivant (2) et tenant compte de (3), on a (j) A'a-'-t- B'j''-4- G '3'= o.

Enfin, dérivons (4) et tenons com|)le de (j); il vient

(6) kx"^ lîy -I- C z" — o.

Les équations (4) et ((3) montrent que A, B, C sont proportionnels aux déterminants j/:;" — z' y''^ — Donc le plan (i), qui passe d'ailleurs par le point (^, y, :;), est le plan osculateur à la courbe C.

On a vu (n" 388, p. 180) la réciproque, à savoir que, si l'on part d'une courbe, le plan osculateur à cette courbe a pour caractéristique la tangente.

4o6. La courbe C est dite Varète de rebroussemenl de la surface S. Pour justifier ce nom, montrons qu'étant donné un |)uint M

y"\'ji,. lo.

de G, tout plan passant par M et non tangent à C en M coupe la surface suivant une courbe qui, en général, a un point de rebroussenient en AL

Pi-enons ce point M pour origine, le pian sécant pour ])lan des xy, la laugenle à C en M pour axe des z, le plan osculateur à C en M pour plan des zo! {Jîg. ^o). Enfin, prenons :; comme variable ind»''pendante; x'^ ^^ y'z ^^^^ nuls pour Torigine. Ecrivons, de plus, (pie le plan osculateur, de coefficients A, B, C, est le plan y = o. C est nul du fait que ce plan passe par la tangente, c'est-à-dire par Os. 11 suffit donc d'annuler A. Or, on a A =: — y". Donc y" doit être nul pour l'origine.

Cela étant, considérons la surface S; elle est engendrée par la tangente à C. Soient X, \, Z les coordonnées d'un point de la tangente au point de paramètre z, voisin de M; ses équations sont