X. — SURl'ACKS DKVr.I.oPl'Alir.ES. v4i

io7. liqualioii aux dérivées [Kiilicllcs des surfaces d<\i-lo/)pables. — Soit

r('{|ii;ilion (riine surface (h'-vcloppable.

Le [)liiu Umi;eut au poinl {x. y, z) de la surface a pour •'•(pialion

ou

p{\ — x)-^q{X—y) — ÇL — z) = o p\^fj\— Z-r-Z — px — (jy = o.

Ce plan, riant le même tout le long d'une génératrice, ne doit dépendre que d'un paramètre; par conséquent, les trois fonctions />, q, -■ — px — qy doivent être fonctions de l'une d'entre elles. En parliculicr /? et q doivent être fonctions l'un de l'autre, c'est-à-dire sont lies par une relation. La condition pour qu'il en soit ainsi est cjue Ton ait

Or, on a

D(a:, y) d'où la condition nécessaire

= rt

it

D'ailleurs, on a

D{z — px — qy^ p ) D{x,y)

rx — sy

SX — ty s

yirt-s-^).

Ce déterminant fonctionnel est donc nul, et, par suite, il existe une relation entre z — px — qy el p.

La condition / 1 — 5- = o est donc nécessaire et suffisante pour que les trois fonctions/?, q, z — px — qy soient fonctions de l'une d'entre elles, c'est-à-dire pour que le plan tangent ne dépende que d'un paramètre. Toute surface dé\eloj)pable satisfait donc à l'équation

rt

io8. Réciproquement, démontrons que, si cette condition est remplie, la surface est développable. En efl'et, il résulte de cette condition que/? et q sont liés par une relation au moins. Si p et q étaient liés par deux relations distinctes, cela signifierait que p et q sont constants, z serait alors de la forme z = ax ^ ùy -h c, la surface serait un plan.

•25o CIIAPITRK VI. — APPLICATIONS GKO.MKTRIQUES.

Ce cas mis à pai^t, supposons p et q liés par une relation et une seule; alors l'une au moins des deux fonctions />, q n'est pas constante; supposons que ce soit/>, et soient

les relations qui existent entre /? et q d'une part, z — ■ px — qy et p d'autre part. La l'onction z (\c x,y satisfait donc à l'équation

(i) z — px —y o(p) — <h(p) = o.

Dérivons par rapport à x et à j' cette relation; nous obtenons, après

réductions,

r[x-+-yrs'{p)-i-<l'(p)] = o,

s[x-i-y<f'(p) -h'Yip)] = o.

r et s ne sont pas tous deux nuls, sans quoi p serait constant, contrairement à riijpotlièse. Ces relations exigent donc que l'on ait

x,y, z satisfont aux équations (i) et (2); en éliminant p, considéré comme un paramètre, entre ces deux équations, on aura l'équation de la surface.

Cela étant, considérons le plan ayant pour équation

p étant un paramètre. Pour avoir l'enveloppe de ce plan, nous devons éliminer p entre cette équation et l'équation dérivée par rapport au paramètre, c'est-*à-dire l'équation

X ■+■ <{)'(/>; V -H 'l'ip) = o.

Ces deux équations sont identiques aux équations (i) et (2); on trouvera donc comme enveloppe de ce plan la même surface que précédemment. En résumé, il existe un cei'lain plan dépendant d'un paramètre dont la surface donnée est V enveloppe. C'est donc bien une surface développable.