XI. — Surfaces réglées
461. Une surface réglée est une surface engendrée par une droite variant en fonction d'un paramètre. Soient
x = az -h T., y =■ b z -^ '^
les équations de la droite, rt, ^, a, [3 étant quatre fondions données d'un paramètre u. Le point de coordonnées x, y, z engendre la surface réglée qui se trouve définie en fonction des deu.x^ paramètres z et u.
On sait que, pour que la droite reste tangente à une courbe, il faui qu'il y ait compatibilité entre ses équations et les équations dérivées jiar rapport au paramètre u. Soient «', b\ a', ^' les dérivées de a, b, OLj ^ par rappoi't à u. Les (''([ualions dérivées par rapport au paranièlre
sont ici
a'z-i-oc'=o, 6'z-(-3'=o.
l'our (pie les ([(lalre écpialions soient comj)alibles, il faul cl il siillil
202 CIlAPlTRIi VI. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQl ES.
que les deux dernières donnent la même valeur pour z, c'esl-à-dire que l'on ail
C'est la condition pour que la surface soit cléveloppable.
462. Reprenons le cas général et cherchons l'équation du plan tangent en un point (x, j^, z). Ce plan contient la génératrice rpii passe par ce point; son équation est donc de la forme
X — aZ — 7. — l(Y — hZ — '^) = o.
Considérons sur la surface un déplacemeut du [joint l^-^, JK, z) correspondant à une \ariation de u, z étant constant. On a, pour ce déplacement,
dx = z da -+- </a, dy = z db ^ d'^, dz = o.
Ces valeurs de dx, d\\ dz délinissenl la direction de la tangente à la courbe /< = varial)le qui passe par le point (x, y, z). Écrivons que le plan tangent est parallèle à cette direction, cela nous donne la condition
sa'-f- a'-i- À I zb' -r- p' ) = o.
Cette relation détermine).; Téquatioii du plan tangent au point de cote z est donc
(X — aZ — a)(6'^-f- ^')— ( V — /Î/Z — '^)(a'z -}- u' ) — o.
On reconnaît que À est fixe, c'est-à-dire que le plan tangent est le même tout le long de la génératrice, si le rapport " est indépen-
dant de z. 11 faut pour cela que l'on ait
a' ol'
c'est-à-dire
Comme nous l'avons déjà nu, la surface est alors une surface développable.
463. Ce cas mis à part, le plan tangent varie avec z le long de chaque 'génératrice. Pour étudier sa variation, prenons pour axe des Z la génératrice considérée ; l'équation du plan tangent devient
M. — SUUKACKS llKfiLKKS.
Suit '|/ l auyic de ce pliin avec le |>liin des /A ; on a, en .sii|)|)()saiil les axes de coordonnées rectaii"iilaiies.
taii"<!/ — —,
lang'l et z sont liés par une relation homographiqiie. Cela montre que, quand :; varie, le plan tangent prend toutes les positions possibles autour de OZ, c'est-à-dire de la génératrice. Quand z croît indéliniment, le plan langent a une position liinile pour hupielle on a
tangl^-.
Faisons tourner les axes autour de OZ de façon à prendre cette position pour plan ZOY. On aura, avec ces nouveaux axes, a' = o ; tang'i» sera lié à ; par une relation de la forme
tang'/ = /:(5^A).
Déplaçons enfin les axes parallèlement à eux-mêmes, de façon que 'l soit nul en même temps que z; nous aurons
lang6 = kz,
k est dit le paramètre de distribution. L'origine dans ce système de coordonnées s'appelle le point centrai : c'est le point pour lequel le plan tangent à la surface est perpendiculaire au plan tangent à la surface au point à l'infini sur la génératrice.
i()4-. Considérons deux positions voisines D et D, de la génératrice de la surface, correspondant respectivement aux valeurs //, (( -\- \[( du paramètre. Les coefficients a, b, a, [i ont pour la première les valeurs a, b, a, |^ et pour la seconde les valeurs a -+- Aa, b -+- A/y, a-t-Aa, 3-t-A3. Nous supp(jsons a, b, a, [i développables par la série de Taylor en fonction de ii.
Nous allons évaluer l'ordre Infinllésimal, lorsque D et D, devlcnnenl infiniment voisines : j" de leur augle oj; 2" de leur plus courte distance 0. Nous avons
a ( a -^ In ) -\- /) ( b -^ \fj ) -^ \
v/rt - -r- /; - -r- 1 y/( a -r- Aa /- H- ( 6 -H A6 )'- — 1
On en déduit, en utilisant ridentité de Lagrange,
Aa2 -H a62 -f- ( a \h — /; la )-
sin-to = 1 — cos-w =
( a2 -t- 62 H- I ) [( a -f- Aa )« -f- ( 6 -+- A6 )2 -)- 1 J
254 CHAIMTHK VI. — AI'I'LICATIONS GKOMÉTRIQL ES.
On reconnaît que sinw et, par suite, to est un infiniment petit du même ordre que Am.
11 y a lieu de mettre à part le ras où m est nul, c'est-à-dire où l'on a Aa := Aft = o.La droite décrit alors un cylindre.
Etudions uiaintcnant la j)lus courte distance o entre D et D,. Pour cela, nous prenons la dislance dun point de 13, au plan parallèle à D, mené par D; son équation est de la l'orme
A doit être tel que c<; [)lan soit parallèle à la direction « + Ar/, ù -^ A/>, i , c'est-à-dire qu'on ait ■
a -}- Aa -î- X ( ^ -F- A/v ) — ( « -h X 6 j = o ;
celte c([uation détermine A :
L'équation du j)lan considéré est donc
A^(\ — «Z — a) — Aa(Y— /yZ— [i) = o.
Considérons le point de la droite D, (pii a pour cote o. On a, pour
ce point,
X = a -I- Aa, Y = !î + Ap, 'A ^ o.
La dislance de ce point au plan précédent est
., ;a6 Aa — A« A°> '
v/Aa2 -H A62 -i ( a \b — h la f^
he dénominateur est, comme nous l'avons \u, du premier ordre par rapport à Aw. Etudions le numérateur; Ar/, par exemple, est de
la lorme
Art = rt \n -i A«2 | \u^ -+-...:
AZ>, Aa, AjS ont des développements analogues, de sorte que le numérateur contient comme terme de plus bas degré en A« un terme en Amqui a pour coefficient b'a' — a' 'it' . Celte quantité étant difterente de o, sauf pour une surface développable, nous voyons que, pour toute surface non développable, ù est du même ordre infinitésimal que A?/, et, par suite, que to.
(^Jierchons quel est, pour une surface développable, l'ordre du numérateur de S. Remplaçons comme précédemment Aa, A/>, Aa, A[j
M. — SI IIFACKS lIKtil.KKS. •> V'i
par It'iiis (l('\ cloppriiiciiK cii loriimlc de TaNlor airrh's, Mii\aiit le cas, ail Iroisiriiic ou an (piatririiic Icrmc. Le cocrficiciil de A//- ('■laiil mil, cherchons le coeflicKul (h- A//'; c'esl
C'clte (>\pressi(in ii'esl atilrc (pie la (léii\éc de a"i' — Z»'a'; elle (;sL donc nulle. Le coefficient de ^it' esl
.le dis (pi'il est, en général, dillerenl de o. Cherchons à (pielle condition il peut être nul. Dérivons le coefficient de Am^ ; nous obtenons les deux expressions entre parenthèses dans l'expression précédente, mais avec des coefficients numériques dillerents. Le coefficient de A//* ne peut donc être constamment nid (pie si ces deux expressions sont constamment nulles séparément. En particulier, il faut (pi'on ait
En résumé, en mettant à part le cas de d"^J' — b" o!' := o, le numérateur de 0 contient comme terme de plus bas degré un tcinie en Am*. Donc S est du troisième ordre en A//.
Cherchons à quelle condition on aura «"3" — b" v'.' ^o. De la condition «'^' — b' a.' =z o nous déduisons
a' = la. 3'= \b\ d'où
a" = X a" -+- À' rt', 3" = À b" -h À' b\
«"p" — b"oL" = a"[\b"-+- V b') — b"{la"-h Va') = \'(a"b'— b" a' ).
Nous sommes ramenés à étudier les solutions de l'écpiation
i" Nous avons la solution
À' = o, d'où
X = ccjnsl.
et, par suite,
a = X rt -T- [JL, p = X 6 -(- V,
[ji et V étant des constantes. Les équations de la droite \) dexienncnt
X = rt ( Z -f- X) -f- |JL, Y = i ( Z + X ) -^ V.
■J.56 CIIAI'imE Vf. — APPLICATIONS GKO.MK TRIQI ES.
On voit que celte droite passe par le point fixe
La surface est un cône, la plus courte distance de deux droites quelconques est nulle.
2" Une seconde solution de Técpialion est
ce qui exprime que le rapport — est constant. Supposons a' et b' non constamment nuls, et posons
b' = ka' ;
nous en déduisons
b = ka -H c,
c étant une constante. De plus, la relation a'|j' — b' v.' ^ o s'écrit
a a d'où
Les équations de la dioite prennent la forme suivante : X = rt Z -+- a, Y = ( Aa -r- c) Z -+- Aa -!- \i.
On voit (pie les coordonnées de tout point de celle droite satisfont à réfpiation
Y = k\ + cZ -f- [JL.
La droite reste dans un plan, et la plus courte distance de deux génératrices quelconques est nulle.
Nous avons laissé de côté le cas où a' et b' sont constamment nuls ; a ei b sont alors constants, la droite engendre un cylindre, to étant constamment nul, il n'y a pas lieu de comparer o et (o.
En résumé, il résulte de cette étude que, dans une surface réglée non développable, la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines et l' angle de ces deux droites sont deux infiniment petits de même ordre. Dans une surface développable qui n^ est ni un cône, ni un cylindre, ni un plan, la plus courte distance est du troisième ordre relativement à V angle. Enfin, dans un cône et un plan la plus courte distance est nulle, dans un cylindre l'angle est nul.
DKFonMATioN KT iii:i'Hi->i:ntation I)I;S suhfaces. •' »7
XII. — Déformation et représentation des surfaces. i6o. Etant donnée une surface défi nie par les formules
on a obtenu (n" 4-23) la relation
ds- ■— K du- -T- iF du dv -H G dv^.
Remarquons que les fonctions E, F, G ne changent pas si l'on eflectue une transformation de coordonnées rectangulaires en gardant les mêmes paramètres M, v, car on a toujours
ds^- = dx-^ -+■ dy^ -+- dz^ = dx"^ -4- dy">- ^ dz">-.
Supposons maintenant qu'on remplace u^ v par deux nouveaux paramètres w,, e,, le changement (jui permet de passer de ii. v 'a ;/,, t', ('-tant réversible. Nous avons
<)x it.r <)u i)x ik'
du\ Ou dui ôv Oui
ùx dx du dx dv
dv\ du dv^ dv dvi
et, en appelant A, , B, , G, , E, , ... les fonctions analogues à A, B, (', E, . . . avec les nouveaux paramètres, nous en déduisons
j,^^ dui / ^,oui / du\ dui \dUi/
E, est donc fonction linéaire de E, F, G et dépend, en outre, dc^s (hrivées des anciens paramètres par rapport aux nouveaux, l'^ormons de même F,, nous aurons
, du du / du dv du dv \ dv dv
di/i dVi dU\ dv^ dv i du ^ ) i)Ui 'Ivx
Enfin on sait que ! on a
D(?/i, Vi) D(//i, i| ) D(M,, c,
d'où
258 CIlAl'lTIlt: VI. — APPLICATIONS GlioailÎTIilQL ES.
466. Cela élaiil, considérons deux surfaces diirérenles définies de la façon sui\anle. Pour la première, s, on a
el pour la seconde. S, on a, u et v étant les mêmes paramèti'es, X=:F(m, t'), Y = *(?<,(•). Z=T(«^, r).
Soient e, /, g, h les fonctions relatives à s, E, F, G, H les fonctions analojj-^ues relatives à S.
A un système de valeurs de «, v coriespond un point m sur la première surface et un point M sur la seconde. Ainsi se trouve établie une correspondance point par point entre les deux surfaces; c'est cette correspondance que nous allons étudier.
Considérons sur 5 deux courbes c et v se rencontrant en un point m et sur S les deux courbes correspondantes C et F qui se rencontrent au point M, correspondant à ni {fig- 40- Cberchons à quelle coudi-
l'ig. 4'.
tion l'angle des deux courbes tracées sur s est égal à l'angle des deux courbes tracées sur S, ou, plus brièvement, cherchons à quelle condition l'angle de deux courbes se conserve dans la correspondance.
Soient u et f les paramètres des points ni et M.
Désignons par du^ dv les accroissements correspondant à un déplacement à partir de ni sur la courbe c, et, par suite, à un déplacement à partir de M sur C, par dx^ dy^ dz les différentielles de x, y, z correspondantes; soient 0;/, oi^, ox, oy, oz les quantités analogues relatives à *' et r.
Nous aurons, en appelant 6 et0 les angles des tangentes en m et M,
,, c/.r ^x -r- dy or -t- tlz riZ cosO = —^
lis o.v
XII. — DKKOK.M VTiiiN iT II i;i'Iii';si;mm KiN rus siuiVcKS. 759
