II- , Oj

ou, eu rcMipliicaul '/r \y.iv il 11 -\- fl\-

co?0

y/l^e du- ■+- ■}./ (lu d\' -t- l; d\' ) ( e o/^--f- 'Jou of -I- A' oc- )

cl, lie uièuie,

I'^ du r,ii -j- I"( rfn of -4- di- r,ii 1 -+- (' <h' w

cose

\l( K du- ~r- ■>. V du (h- -I- (1 d\>- ) ( V, 0//2 -f- •}. V rju Oi' -f- G w- )

jNIeltous en évidence les rapports

au fjK

L'égalité des angles 0 et 0 exige que l'on ait

(e ^ ifk -f- gk'- 1 ( r H- ^./A'-^ ,^A'2 ) ( !•: ^ ■>. V A -+- G k'- ){V.-^-i F A'-^ G A'2

et, j)Ourqu il en soit ainsi {piellesque soient les courbes c et*', il faut f|ue cette relation ait lieu quels cpie soient k et A'. On a|)ejçoit l;i solution évidente :

En efl'et, si l'on a ces relations, les deux UK-mbres de (i) sont identiques. Je dis que c'est la seule solution. Imaginons (jue Ion nieHc' l'équation (1) sous forme entière. L'expression e -\- ifk -{- gk-, qui divise le second membre en tant (jue polynôme en /.■ et /.', doit diviser le premier, qui est

\e—f{ k -H A' ) ^ gkk' ] 2 1 F ^ -i F k -^ G A^ ][!•: + ■>, F A' -- G k"- \ .

Remartjuons que rex|)ression e -\-f{k -^ k') -^ gkk' , en tant que polvnome en /.• et A"', n'est pas décomposable. En edct. si elle l'était, elle se décomj)Oserait en un produit de la forme

l(e^fk){e^fk'),

et. en identifiant ces deux expressions, on obtient

Le'- lef a/^ — -7^-—'

d'où

eg —p = o.

ce qui est impossible. L'expression e -\- f{k -\- k' ) + gkk' n étant pas

aGo CIIAPITRK VI. — APPIJCATIONS GÉOMÉTRIQUES.

décomposable, il faut que les deux facteurs qui entrent dans e H- "ifk + gk"^ divisent les deux facteurs de E + 2 F/ + G A-, c'està-dire que ces deux trinômes soient proportionnels. Gela exige que l'on ait les conditions (2).

Supposons ces conditions remplies pour les surfaces s et S, et soit \ p la valeur du rapport—; nous aurons

Dans la correspondance entre les deux surfaces, l'angle de deux courbes est alors conservé. On exprime ce résultat en disant i\^il y a similitude entre les éléments infiniment petits des deux surfaces. Cette correspondance est dite une représentation conforme.

Considérons, en |)articulier, le cas de A = 1 ; on a

Outre les proj)riétés précédentes, .v et S possèdent la propriété suivante : deux arcs de courbes correspondants tracés sur ces deux suifaces ont même longueur. Deux surfaces pour lesquelles il est possible de réaliser une correspondance de cette nature sont dites applicables V une sur l'autre.

467. jNous allons montrer par un exemple (pie deux surfaces peuvent être applicables tout en étant complètement différentes de forme. Considérons une surface de révolution d'axe O^, les coordonnées d'un de ses points étant

^• = ;'coscp, y = /-sincp, z=/{r).

On a pour cette surface

ds- — dr- [ I -t- / '2 ( /•,! j -r r- do"-.

Considérons, d'autre part, un liélicoïde à plan directeur (c/". n"447, p. 288), défini par les équations

L'élément linéaire de cette surface est

r/ij - du'-— {a^^ u- ) di-.

JNous allons chercher à déterminer une surface de révolution applicable sur l'hélicoïde à plan directeur. Pour cela, nous allons chercher, par un changement convenable de paramètres, à identifier les deux dsde ces surfaces.

MI. UrFOUMATION l'.T 11 IM'UKSIINT VTION DKS S|:m'Ari:S. ''"U

K(Mnar(|uoiis i|uc rexprcssioii '//' | '-!-,/'■ (/")], <|"i ne coiiImmiI que /", peut être mise sous la (orme du carrr d'uiu' dilli rcnlH-llr. Clierclious des fouclions //, v de /', 'j telles (jne

dr y/i -+-/''^{r) — du, r^ df- = (a'^-^ ii'^) c/»-.

Prenons pour cela

doù

/• dr = w <i«.

La première relation devieul

du r

' dr u

v//--2 - adoù, en intéiirant,

f{r) = a I^(/- -i- y//--— a-) -H const.

L'équation de la méridienne de la surface de révolution cherchée est

^ = aL(/' -t- /'"' — <^-) + const,

ou, en choisissant convenablement la constante,

ae" = r -1- \/ r- — a-.

On en déduit

ae " = r— y/r^ — a^, d'où, par addition.

Cette méridienne est une chaînette (n°4-lo, p. 208) ayant pour axe de symétrie l'axe des ;• ou des x. La surface de révolution engendrée par cette chaînette tournant autour de O:; s'appelle Valysséide. Elle est applicable sur Vhélicoïde à plan directeur représenté par les équations

X = \/ r- — a- cosi|), y — \/ r- — a- sin ç, :z^a-s.

■i&>. niAlITRE \l. — AI l'LICATIONS (iKOMKTRIOrKS.

Pour la surface de révolution, les courbes .5 := consl. sont les méridiennes, pour l'IiélicoVde, ce sont les génératrices; les chaînettes correspondent ainsi aux droites sur riiélicoïile. De même, les parallèles sur l'alvsséide correspondent aux hélices sur la seconde surface.

468. Etudions les surfaces applicables sur un plan. Soit a, [B un système de coordonnées rectangulaires dans le plan. Considérons une surface applicable sur ce plan et prenons a, ^ comme paramètres sur cette surface. jNous devons avoir, dans ces conditions,

cix'^ 4- dy"^ -+- dz"- r= (loL-i -+■ cl<^'^.

Exprimons r/.r, dy et r/z en fonction de c/a et d[i, et identifions les deux formes <piadratiqucs en r/a, d'^ ainsi obtenues. Nous aurons

<" im-'^ l{%)"-'^ T£rr-

Dérivons les deux premières relations par rapport à a et [S; nous obtenons

^ dx O-x yr\ dx ô-x ^ âx ô^x -^ dx O^x

Dérivons mainleuant la troisième des relations (1) en tenant compte de celles que nous venons d'obtenir; nous aurons

■^ dx à'-x y^ ()x â^x

Parmi les six relations obtenues, celles qui contiennent — ^> — =^,

-— montrent que ces trois quantités sont proportionnelles aux déterminants x\, B, C. On reconnaît qu'il en est de même, d'une part

(P X â'^ y fP z .. 0^-x ô'-y d-^z .

P^"'' T~7^' "i — Tq' 1 — lo ' (1 autre part pour —r;-, —^, -7—, de sorte que,

si l'on tonne le tableau des dérivées secondes de x, jk? ^ par rapport à a, ^, les trois lignes du tableau seront formées d'éléments proportionnels. Il en résulte que tout déterminant du second ordre issu de ce tableau est nul.

Gela étant, considérons les fonctions -t-5 ^> -r-; le déterminant

da da dix

fonctionnel de deux quelconques d'entre elles par rapport à a, (3 est nul, car c'est un déterminant du second ordre issu du tableau précédent. Donc ces trois fonctions sont fonctions de l'une d'elles. De

XII. — iiii nn\i \ I ION II m I'I(i:m.n lA I KiN lus M m u,i:s. >('>',

Ox (ly <)z . , ,.

""'"*' (i3 ' dS ' ()iÀ ""*"' '"'"''""'^ •''■ ' ""•■ <l «lli'S ()i-, (111 ;i «'iilrc rcs

six (l('rlvt'es une ri'hitiOn (|iii rsi

Il (-11 rôsiille (|iio cos six (li'Tl\érs sont, fonctions (riim- seule d'eiitie elles.

Imaginons niainlen;ml (|ii"on re\iemie. pour- (ji'iinir hi snrfiicc, ;iiix \arial)les indépendantes x, y. Nous obtiendrons les relations entre les nouvelles dérivées el les anciennes en ))artant de

f)z iJz Or Oz Oy da. <).T 0% dy ùx Oz dz dx àz à y

âp"^ âx O'î '^ ÔJ- d^^'

Fin résohant ces équations, nous aurons ,- el ~, et, coinme les

'■ dx dy

dérivées de .r, y, z par rapport à a, ^3 sont fonctions de l'une d'entre

Il -1 àz Oz 1 ■ ,. àz Oz

elles, il V aura entre — et-— une relation; autrement dit, — et —

àx ày Ox Oy

seront fonctions l'une de l'autre. Nous avons constaté (n" io8, p. 249) (juil faut, pour qu'il en soit ainsi, que la surface soit développabie. Ainsi, les surfaces applicables sur un plan sont des surfaces fIé\eloppables.

-i69. Réciproquement, étant donnée une surface développable, nous allons montrer qu'elle est applicable sur un j)lan: pou'- cela, nous allons chercher, par un choix convenable des paramètres ?t, c, à mettre le ds- de cette surface sous la forme du- ^ (h-.

Considérons la développable comme la surface engendrée par la tangente à son arête de rebroussement. Soient M(jc, y, z^ le point de contact de cette tangente, a, ^, y ses cosinus directeurs. Un point cpielconque M, de cette tangente, situé à la distance / du point M, a pour coordonnées

.r, — .r-f-/a, y^ = y-^Vp, z^— z -\- l'[.

Quand le point M et la longueur / varient, le point M| décrit la surface dé\eloppable. Soient 5, l'arc d'une courbe quelconque décrite par M,. .< lare de laréte de rebroussement; nous avons

ds\ — ^ dx\ = ^ I dx -^ l d-j. -\- 'X dt )"-,

^52 ^ V [ a ( f/.v - dl)-^ IdT-Y^i ds ^ dt )■' H- /-^ '/ï^

R étant le rajon de courbure de l'arête de rebroussement en M, remplaçons dy. par ^ flfi ; il vient

ds\ — {ds -h dl )'- -h — c/s-.

Nous allons chercher à mettre ds- sous la forme

c'est-à-dire

(dX^idY){dX — id\ ).

Or, ds'-^ peut être mis scms la forme

ds] = (ds ^dl^ il '-^ ] fds -i-di — il, ^ \ . Cherchons une fonction'ijL telle que le produit

lilds-^dl-^il — \ — rxl\~- --\ds ^ u dl

soit une difl'érenlielle exacte; autrement dit, cherchons un facteur intégrant pour 1 expression

ds -h dl -h il -T- • K

On est conduit à l'équation

à r I il -.T àyi

/ il \ d'j. i d'j.

On a une solution en prenant [a indépendant de / et satisfaisant] à

doù

C?[JL i

'ri.

D'ailleurs, les deux facleuis ds + dl -^ il---, ds -\- dl — il-f^ étant

K ri

imaginaires conjugués, le second a pour facteur intégrant e '"', et, comme le produit de ces deux facteurs intégrants est égal à i , nous pouvons écrire

ds-, —

ds -1- dl -f- il -^

ds ~ dl — il

MI. — ItKl'OllMVTlON KT lUCPnÉSKNTATION DES SUHFACES. .'<>)

Cliicuu (le CCS facU'ur-, doil èlrc une diUérciilicIlc exacle. Pour mettre ee fait en éNidence, posons

"^./ H- IjC premier facteur de ds'^ s'écrit

e'"'J dl -H le''^i d-s -t- 6''<^ d$ ;

c'est la dinerenlielle de

Dans cette expression, sé()arons les parties réelles et les coefficients de /, et posons

X — / C0S7 -h / COS7 ds^ Y = / sina -h / bin j ds.

Nous aurons

ds\ = ( d\ -t- < t/V )\ dX — / d\ ) = d\-~r- dY'-.

11 y a donc application entre la surface donnée elle plan (X, Y), ce qui démontre la proposition.

Examinons la correspondance qui se trouve ainsi établie entre la surface et le plan. Pour /= o, le point M, décrit l'arête de rebroussement de la développable; le point qui lui correspond dans le plan décrit la courbe ayant pour équations

X r= / COS7^.Ç, Y = / si 11 7 (^/s.

A une tangente à l'arête de rebroussement, obtenue pour 5= const., correspond une droite, car X, Y sont fonctions linéaires du paramètre /, de sorte que, dans l'application, aux droites de la surface correspondent des]droites du plan. Ces droites sont d'ailleurs tangentes à la transformée de l'arête de rebroussement.

470. Cotiilnire totale. — Nous avons appelé courbure totale en

chaque point d'une surface le produit > R, et Ro étant les rayons

de courbure prineipaux^en ce point. Nous avons vu que ces rayons de courbure sont les racines de l'équation du second degré sui\ante :

(EH — E,R)(GH — G,R^ — (FH — FiR)'-=o,

266 CHAPITRE VI. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQl ES .

de sorte qu'on a

Nous allons montrer que la courbure totale en un point d'une surface ne dépend que des fonctions E, F, G et de leurs dérivées. Il suffit,

d'après la forme de ,, ^ , de montrer que la fonction E,G| — F^ II] n2

s'exprime en fonction de E, F, G et de leurs dérivées. Rap|)elons

qu'on a

àx

dû

lia

dx dv

ÔKr

'JïF'

dv^

du dv

En effectuant le produit des deux premiers déterminants lignes par lignes, nous avons

FiG.

■^ dx d-x ^dlîi dû^

y^ dx d'-x j^ du dv^ •^ dx d-x .t^ dv dv^ ir^ dx d^x ^ d-x d-x Z^ dv "dïï^ ^ "dv^ du^

nous avons de même

dx d-x

•^ ()x 0-x ^1 dx

^ ou du dv jLà dv I

dx d'^x )u dv

•v^ dx d-x j^ du du dv •^1 dx d-x ^ dv du dv

jLd \dudv )

Dans ces deux déterminants, tous les éléments, sauf le dernier dans chacun d'eux, s'expriment en fonction de E, F, G et de leurs dérivées. On a, en effet, en dérivant E et G,

I dE

dx d^-x

dx d- X

dïL -^ ox d-x ' "'^ V "*^

1 du j^ du du- 1 dv jb^ du du dv

f Lr ^ dx

dx d-x

dx d'^x

d-x 1 oU ^■^ dx d'-x

1 du ÀM dv du dv 2 dv ^^ dv <îv-

iJérivons F par rapport à a et v^ et tenons compte des relations