XII. - hKKOHMATION RT IIFI'UKSKNT VTION |)i;« MMIKACKS. 'tfj

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du }. dv Jmmà (h- du-

dv x dit j^ du dv^

II résulte de là ([iie, clans le dt-Neloppcment de E,Gi — F^, Ions les termes s'expriment en fonction de E, F, G et de leurs dérivées, sauf |ieut-ètrc le terme

,EG-F»,vr:;ir:f£('i!£.)n.

^^ [ 'lu- dv- \Oudv/ J

Or, en déri\ant par rap|)orl à u la somme

■^ dx

^dû

par rapport à e la somme

^d du du dv

el retranchant la seconde dérivée de la première, il reste

dx d-x

(III- (H''^ Ou fJi

qui s'exprime donc aussi en fonction des dérivées de E, F, G.

Par suite, la courbure totale en un point ne dépend que des fondions E, F, G et de leurs dérivées.

Nous avons vu qu'étant données deux surfaces applicables l'une sur l'autre, il existe une certaine représentation paramétrique telle qu'en deux points correspondants, E, F, G sont les mêmes pour les deux surfaces. Il en résulte qu'en ces deux points les surfaces ont même courbure totale. On exprime ce fait en disant que la courbure totale se conserve dans la déformation.

Constatons, en particulier, que cela a lieu pour les surfaces dé\eloppables, qui sont des surfaces applicables sur un plan. La courbure totale en clnupie point de ces deux surfaces est nulle.

471. Signalons ce fait, qu'il existe des surfaces dont la coiirljure totale est constante. La sphère, par exemple, est une surface à courbure totale constante et positive.

Citons un exemple de surface à courbure totale constante et néj;ati\e : c'est \dL pseudo-sphère ou surface de révolution engendrée par

268 CHAPITRE VI. — APPLICATIONS GÉOMKTHIQIjES.

la tractrice en tournant autour de son asymptote. En nous reportant à la figure 36 (page 208), nous voyons que GM, rayon de courbure de la Iractrice en G, est l'un des rayons de courbure principaux en G ; l'autre est GT. Les sections principales en G sont, en efïet, la section méridienne et la section qui lui est perpendiculaire. Ces deux rayons de courbure étant ici de sens contraires, la courbure totale est négative; de plus elle est constante, car on a (p. 210)

GIM.GT = GP2 = const.

472. Représentation d'une surface sur un plan. — Supposons qu'on se propose de représenter une surface sur un plan, c'està-dire d'établir une correspondance point par point entre la surface et le plan, cette correspondance devant réaliser certaines conditions géométriques qu'on indique.

Cherchons, par exemple, une représentation qui conserve les angles [représentation conforme {cf. n" 466)].

Soient M, V les paramètres dont dépend la surface, X, Y les coordonnées rectangulaires dans le plan, ds- le carré de l'élément linéaire de la surface, d\'- -\- dY- celui du plan. Nous avons

ds^ = E du^ -+- 1 V du dv + G f/c^,

et nous devons mettre cette expression sous la forme )v(âfX^+ dY'^). Pour cela, mettons d'abord la forme quadratique en w, v qui représente ds- sous la forme d'un |)ro(biil.

{a du -^ b dv ) («' du -h b' o^c),

a! et b' étant imaginaires conjugués de a et b. On cherchera un facteur intégrant pour l'expression adu-\- bdv., c'est-à-dire un facteur m + n i [m et n étant réels) tel que l'expression

( m -+- ni ) (a du -^ b dv )

soit différentielle exacte; m — ni sera facteur intégrant pour l'expression a' du -h b' dv.

Si nous posons

( m -h ni){a du — b dv) = dX -4- i d\ ,

nous aurons

(m — ni) (a' du -i- b' dv ) = dX — i dY^