III. — rNTi:(;n vi.KS ni-: vauiaim.ks <:(»mi'i,i;m:s
Il en résulte aussi (|ue riiih'-i^i'.ilr du sefunil nn-niltre r«;slr- iri\;iriable si Ion rrnipl.Mt' -- |»,ir iiu cercle coiicciil rn|nc inh-iicur- •''; autrement ilit, la valeur de rinlt'-^ralc est ini|c|»ciiilaiile du lavon /•.
Fie. 30.
D'autre part, comme y est fonction continue, étant donné un nombre e positif, on peut trouver un nombre positif a tel que sous la condition /• ■<! a on ait, en tout point du cercle y de centre a et de rajon r,
Ecrivons alors
Jv -2 — a J,^ z — a J^ z — a
La première intégrale du second membre est égale, d'après (i), à ii—f(a). Comme l est indépendant de /•, la seconde doit aussi être indépendante de r. Gomme on a, sur v,
on voit, en appliquant la règle qui donne une limite supérieure du module d une intégrale (n" !2;21, p. i j;, que Ion a
fiz)-na)^^
Cette seconde intégrale est donc en module plus petite que 2-0: par suite, elle peut être rendue aussi petite que Ton veut. Comme elle a une valeur bien déterminée, indépendante de /', il en résulte qu'elle est nulle.
Nous avons finalement \a formule fondamentale de Caucliy
r f(z)dz rf(z)dz . . .
/ ' = / =ïi-f^a),
Je z — a X z-a
OU encore
Elle est valable dans les conditions suivantes : a est intérieur à un domaine d'holomorphie D, l'intégrale est prise dans le sens positif sur un contour simple C entourant a et contenu dans D.
227. Considérons la formule (2) obtenue. Si l'on suppose que n varie, en restant intérieur à C, on a dans le second membre, sous le
signe / , une fonction holomorphe de la variable complexe a, qui
joue le rôle de paramètre dans 1 intégrale. Donc le second membre est holomorphe par rapport à a] par la règle de dérivation sous le
on obtient
Dans celte nouvelle formule, l'expression à intégrer est fonction holomorphe de a. Donc le second membre et par suite le premier ont une dérivée par rapport à rt, que nous obtenons en déri\ant sous
le signe / ; cela donne
iiTZ J^^ {z — a )'
Je dis, d'une manière générale, que f{(i^ a des dérivées de tous les ordres, la dérivée d'ordre n étant
En effet, celte formule étant admise pour une valeur de n, on peut la dériver par rapport k a\ on obtient ainsi la même formule, n étant remplacé par n -\- i .
228. Soit maintenant une fonction / holomorphe par rapport à plusieurs variables complexes x^ y-i^^ , . . , quand ces variables sont respectivement dans des domaines A, B, C, . . . de leurs plans. Si toutes les variables, moins une, reçoivent des valeurs fixes, / se réduit à une fonction d'une seule \ariable. D'après ce qui précède, cette fonction a. par rapport à cette variable, des dérivées de tous les ordres dont on connaît l'expression par une intégrale.
